群作用

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

定义[编辑]

若 $\mathrm {G}$ 为一个群而 $\mathrm {X}$ 为一个集合，则 $\mathrm {G}$ 在 $\mathrm {X}$ 上的一个(左) 群作用是一个二元函数

\mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X}

(其中 $g\in \mathrm {G}$ 和 $x\in \mathrm {X}$ 的像写作 $g\cdot x$ )，满足如下两条公理：

$(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)$ 对于所有 $g,h\in \mathrm {G}$ 和 $x\in \mathrm {X}$ 成立
$e\cdot x=x$ 对于每个 $x\in \mathrm {X}$ 成立 ( $e$ 代表 $\mathrm {G}$ 的么元)

从这两条公理，可以得出对于每个 $g\in \mathrm {G}$ ，映射 $x\in \mathrm {X}$ 到 $g\cdot x$ 的函数是一个双射(单射以 $g^{-1}$ 应付，满射以 $e$ 应付），从 $\mathrm {X}$ 映射到 $\mathrm {X}$ 。因此，也可以将 $\mathrm {G}$ 在 $\mathrm {X}$ 上的群作用定义为从 $\mathrm {G}$ 到对称群 $S_{X}$ 的群同态。

若群作用 $\mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X}$ 给定，我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。

完全一样地，可以定义一个G在X上的右群作用为函数 $\mathrm {X} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {X}$ ，满足以下公理：

$x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h$
$x\cdot e=x$

注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g，而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用，则

l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})

是一左作用，因为

l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,

而

l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,

所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。

群作用的种类[编辑]

群G作用在集合X上的作用称为:^[1]

递移性(Transitive): 如果X是一个非空集合，对于每对数对 x,y $\in$ X，则存在一个g $\in$ G，使得 $g\cdot x=y$ ，我们就称此作用为递移性。
忠实性(Faithful): 如果群G嵌入(embbeding)到X的置换群中，我们就称此作用为忠实的。换言之，就是则群G到X的置换群之中为单射。
自由性(Free): 如果给定 $g,h\in G$ ，存在 $x\in X$ ，则有著 $g{\cdot }x=h{\cdot }x{\;\;}{\Rightarrow }\;\;\;g=h$ ，则称为此作用为自由性。
正则的(Regular): 同时具有自由性以及递移性的作用称为正则的，又称简单递移（英语：simply transitive）。
n-递移性(n-transitive): 如果集合X 至少有 n 个元素, 对所有不同的元素x₁, ..., x_n 和所有不同的y₁, ..., y_n, 存在一个 g 在群G 使得 g⋅x_k = y_k 对所有 1 ≤ k ≤ n ，我们就称其为n-递移性。
本原的(Primitive): 如果递移性作用满足只有trivial区块(block)，那我们称此作用为本原的。可以证明n-递移性皆为本原的。

轨道与稳定化子[编辑]

轨道[编辑]

若 $x$ 是 $\mathrm {X}$ 的一个元素，且群 $\mathrm {G}$ 在 $\mathrm {X}$ 上有著一个作用，那么 $x$ 的轨道 $\mathrm {G} _{x}$ 就是指以下列方式定义的 $\mathrm {X}$ 的子集：

$\mathrm {G} _{x}=\{g\cdot x|g\in \mathrm {G} \}$

$\mathrm {X}$ 的两个轨道，要不彼此相等，要不然其交集就是空集合。这是因为假如两个轨道 $\mathrm {G} _{x}$ 和 $\mathrm {G} _{y}$ 有一个共通元素 $a$ ，那么就可以找到两个 $\mathrm {G}$ 中的元素 $m$ 和 $n$ ，使得 $a=m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}$ 、 $a=n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}$ ，同时有 $x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}$ ，反之亦可推出 $y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}$ ，而这使得这两个集合所有的元素都相等。

一个轨道的例子是陪集，假若 $\mathrm {H}$ 是 $\mathrm {G}$ 的一个子集，且定义 $\mathrm {G}$ 中元素的惯常运算规则为 $\mathrm {H}$ 在 $\mathrm {G}$ 上的一个作用，那么 $\mathrm {H}$ 的陪集 $\mathrm {aH}$ ( $a\in \mathrm {G}$ )就是 $a$ 的轨道。

不变子集[编辑]

若S是X的一个子集，群G作用在X上( X 被称作G-set)，对于群G中的所有元素 g，以及所有S中的元素 x，有著 $g\cdot x\in S$ ，

则我们会说 S在G的作用下是封闭的，或是说，S在G作用下是不变的

不动点与稳定子群[编辑]

若 $x$ 是 $\mathrm {X}$ 的一个元素，对于群 $\mathrm {G}$ 中的所有元素 $g$ 而言，都有 $g\cdot x=x$ ，那么就称 $x$ 是 $\mathrm {G}$ -不变的（ $\mathrm {G}$ -invariant）。

另外若 $x$ 是 $\mathrm {X}$ 的一个元素，则所有使得 $g\cdot x=x$ 的 $\mathrm {G}$ 中的元素 $g$ 构成的集合又称 $\mathrm {G}$ 对于 $x$ 的稳定子群（stabilizer subgroup of $\mathrm {G}$ with respect to $x$ ），一般常常将之记作 $\mathrm {Gx}$ (注意：不要将之与上面轨道的符号混淆)。

$\mathrm {Gx}$ 是 $\mathrm {G}$ 的一个子群，因为根据定义 $e\cdot x=x\in \mathrm {Gx}$ ，因此 $\mathrm {G}$ 的单位元 $e$ 属于 $\mathrm {Gx}$ ，且假若 $m\in \mathrm {Gx}$ ，那么 $m$ 的逆元 $m^{-1}$ 也是 $\mathrm {Gx}$ 的元素，因为 $x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x$ 。