多项式环

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

抽象代數中,多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個 R 上的多項式環是由係數在 R 中的多項式構成的,其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中,當 R 為交換環時,多項式環可以被刻劃為交換 R-代數範疇中的自由對象

定義[编辑]

多項式函數與多項式[编辑]

在初等數學與微積分中,多項式視同多項式函數,兩者在一般的上則有區別。舉例言之,考慮有限域 \mathbb{F}_2 := \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 上的多項式

P(X) = X^2 + X

此多項式代任何值皆零,故給出零函數,但其形式表法非零。

我們寧願將多項式看作形式的符號組合,以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在域擴張之下的性質:就函數觀點,多項式函數在域擴張下的行為頗複雜,上述 P(X) 給出 \mathbb{F}_2 上的零函數,但視為 \mathbb{F}_4 上的多項式函數則非零;而就形式觀點,只須將係數嵌入擴張域即可。

形式定義[编辑]

於是我們採取下述定義:令 R。一個單變元 X 的多項式 P(X) 定義為下述形式化的表法:

P(X) = a_m X^m + a_{m - 1} X^{m - 1} + \cdots + a_1 X + a_0

其中 a_i 屬於 R,稱作 X^i係數,而 X 視作一個形式符號。兩多項式相等若且唯若每個 X^i 的係數均相同。次數最大的非零係數稱為該多項式的領導係數,或者首項係數

更嚴謹的說法或許是將多項式定義為係數的序列 a = (a_n)_{n \geq 0},使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元 X 及其冪次表達。

多項式的運算[编辑]

以下固定環 R,我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。

環結構[编辑]

多項式的加法由係數逐項相加定義,而乘法則由下列法則唯一地確定:

  • 分配律:對所有 R 上的多項式 P(X),Q(X),R(X),恆有
(P(X) + Q(X)) \cdot R(X) = P(X)R(X) + Q(X)R(X)
R(X) \cdot (P(X)+Q(X))=R(X)P(X)+R(X)Q(X)
  • 對所有 a \in R,有 X \, a = a\,X
  • 對所有非負整數 k, l,有 X^k \cdot X^l = X^{k+l}

運算的具體表法如下:

  • \sum_{i=0}^na_iX^i+ \sum_{i=0}^n b_iX^i=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)X^i
  • \left(\sum_{i=0}^n a_iX^i\right)\left(\sum_{j=0}^m  b_jX^j\right)=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{\mu +\nu =k}a_{\mu} b_{\nu}\right)X^k

R 是交換環時,R[X] 是個 R 上的代數

多項式的合成[编辑]

P(X) = \sum a_i X^iQ(X) 為另一多項式,則可定義兩者的合成

(P \circ Q)(X) := \sum_i a_i Q(X)^i

求值[编辑]

對於任一多項式 P(X) = \sum a_i X^ir \in R,我們可考慮 P(X)r求值

s_r(P) := \sum_i a_i r^i

固定 r \in R,則得到一個環同態 s_r : R[X] \rightarrow R,稱作求值同態;此外它還滿足

s_r(P \circ Q) = s_{s_r(Q)}(P)

導數[编辑]

微積分中,多項式的微分由微分法則 (x^k)' = kx^{k-1} 確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性,我們仍然可形式地定義多項式的導數為:

P(X) = \sum_{i=0}^n a_i X^i
\Rightarrow P(X)' := \sum_{i=0}^n i a_i X^{i-1}

這種導數依然滿足 (PQ)' = P'Q + PQ'(P+Q)' = P' + Q' 等性質。對於係數在域上的多項式,導數也可以判定重根存在與否。

多變元的情形[编辑]

上述定義可以推廣到任意個變元(包括無限個變元)的情形。對於有限變元的多項式環 R[X_1, \ldots, X_n],也可以採下述構造:

先考慮兩個變元 X, Y 的例子,我們可以先構造多項式環 R[X],其次構造 (R[X])[Y]。可以證明有自然同構 (R[X])[Y] \cong R[X,Y],例如多項式

P(X, Y)=X^2Y^2+4XY^2+5X^3-8Y^2+6XY-2Y+7 \in R[X,Y]

也可以視作

(X^2+4X-8)Y^2+(6X-2)Y+(5X^3+7) \in (R[X])[Y]

(R[Y])[X]亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。

性質[编辑]

在數學中的角色[编辑]

多項式環對理想的商是構造環的重要技術。例子包括從同餘系 \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}構造有限域,或從實數構造複數等等。

弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環,此環的乘法係採用多項式的合成而非乘法。