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子環

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設(R,+,·)為,若S是R的一個非空子集,且(S,+,·)也是環,則稱(S,+,·)為(R,+,·)的子環(subring)。

判定[编辑]

設(R,+,·)為环,S是R的一個非空子集。(S,+,·)是(R,+,·)的子環,當且僅當:[1]

  1. R的零元素也在S裡
  2. ∀a,b∈S, a+b∈S
  3. ∀a∈S, -a∈S
  4. ∀a,b∈S, ab∈S

或等價地:

  1. ∀a,b∈S, a-b∈S
  2. ∀a,b∈S, ab∈S

也就是說:

  1. S和+構成一個
  2. ∀a,b∈S, ab∈S

如果要求環還包含乘法單位元,那麼就要在上述條件加上1∈S這一條。

參考資料[编辑]

  1. ^ Frederick Michael Hall. An Introduction to Abstract Algebra. CUP Archive. 1966: 77.