在抽象代数 里，主理想 （principal ideal）是可由环 中的一个特定元素所生成的理想 。
与理想类似，也有相关的左主理想 、右主理想 、双边主理想 的概念。
主理想可以用来讨论任意交换幺环当中的整除性，将所有元素之间整除相关的概念重新用主理想的关系表述。所有理想都是主理想的环，称为主理想整环 ，在环论中有特别的重要性。
设
R
{\displaystyle R}
a
∈
R
{\displaystyle a\in R}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
左主理想 是由形如
n
a
+
r
a
{\displaystyle na+ra}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
Z
a
+
R
a
{\displaystyle \mathbb {Z} a+Ra}
右主理想 是由形如
n
a
+
a
r
{\displaystyle na+ar}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
Z
a
+
a
R
{\displaystyle \mathbb {Z} a+aR}
双边主理想 则稍复杂。除包含左右理想之元素，还需包含由
a
{\displaystyle a}
R
{\displaystyle R}
l
a
r
{\displaystyle lar}
l
,
r
∈
R
{\displaystyle l,r\in R}
Z
a
+
a
R
+
R
a
+
R
a
R
{\displaystyle \mathbb {Z} a+aR+Ra+RaR}
n
a
+
l
a
+
a
r
+
∑
i
=
1
m
l
i
a
r
i
,
{\displaystyle na+la+ar+\sum _{i=1}^{m}l_{i}ar_{i},}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
r
,
l
∈
R
{\displaystyle r,l\in R}
m
∈
R
{\displaystyle m\in R}
∀
i
∈
N
{\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} }
1
≤
i
≤
m
{\displaystyle 1\leq i\leq m}
r
i
,
l
i
∈
R
{\displaystyle r_{i},l_{i}\in R}
假若
R
{\displaystyle R}
交换环 ，则以上定义的三个概念完全等同，可写成
(
a
)
{\displaystyle (a)}
R
{\displaystyle R}
R
a
{\displaystyle Ra}
a
R
{\displaystyle aR}
R
a
R
{\displaystyle RaR}
[ 1]
以下都默认
R
{\displaystyle R}
a
∈
R
{\displaystyle a\in R}
假如
a
∈
Z
(
R
)
{\displaystyle a\in Z(R)}
a
{\displaystyle a}
R
{\displaystyle R}
中心 ，那么由它生成的左、右、双边理想相等。更特别地，若
a
=
0
R
{\displaystyle a=0_{R}}
Z
a
+
a
R
=
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {Z} a+aR=\{0\}}
整数环
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
素元 生成的主理想是素理想 。交换幺环
A
{\displaystyle A}
[ 2]
a
,
b
,
c
∈
A
{\displaystyle a,b,c\in A}
a
|
b
{\displaystyle a|b}
(
b
)
⊆
(
a
)
{\displaystyle (b)\subseteq (a)}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
(
a
)
∩
(
b
)
{\displaystyle (a)\cap (b)}
c
{\displaystyle c}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
(
a
)
+
(
b
)
{\displaystyle (a)+(b)}
c
{\displaystyle c}
^ Thomas W. Hungerford. S. Axler, F.W. Gehring, K.A. Ribet , 编. Algebra . New York: Springer-Verlag New York, Inc. 1974: 123 . ISBN 978-1-4612-6103-2 ^ Falko Lorenz; Silvio Levy (译者). S. Axler, K.A. Ribet , 编. Algebra Volume I: Fields and Galois Theory. New York: Springer Science+Business Media, Inc. 2006: 34–35. ISBN 978-0387-28930-4
此條目介紹的是环论中的主理想。关于序论中的主理想，请见「理想_(序理论)」。
