逆元素

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數學裡,逆元素廣義化了加法中的加法逆元乘法中的倒數。直觀地說,它是一個可以取消另一給定元素運算的元素。

定義[编辑]

S為一有二元運算 * 的集合。若e(S,*)單位元a*b=e,則a稱為b左逆元素b稱為a右逆元素。若一元素x同時是y的左逆元素和右逆元素時,x稱為y兩面逆元素或簡稱為逆元素S內的一有兩面逆元素的元素被稱為在S內為可逆的

正如(S,*)可以有數個左單位元或右單位元一般,一元素同時有數個左逆元素或右逆元素也是有可能的。甚至有可能有數個左逆元素右逆元素。

若其運算 * 具有結合律,則當一元素有一左逆元素和一右逆元素時,這兩個會是相同且唯一的。在這一情形之下,可逆元素的集合會是個,稱為S可逆元群,且標記為U(S)S^*

例子[编辑]

每一實數x都會有一加法逆元(即加法上的逆元素)-x。每一非零實數x都會有一倒數(即乘法上的逆元素)\frac 1{x}。此外,零沒有倒數。

一元素在一K內的方陣M為可逆的(在所有相同大小方陣的集合內,於矩陣乘法下)若且唯若行列式不等於零。若M的行列式為零,它便不可能會有一單面逆元素,因此一單面逆元素必為兩面逆元素。更多詳情請參見逆矩陣

更一般地,一元素在一可交換環R內的方陣是可逆的若且唯若其行列式在R是可逆的。

一函數g是一函數f的左(右)逆元素(在複合函數之下),若且唯若當g o f(f o g)為f定義域(陪域)上的恆等函數。在這一例子裡,一函數有右逆元素而無左逆元素,或許相反,是很常見的。

另見[编辑]