本页使用了标题或全文手工转换

双射

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
一个双射函数

數學中,一個由集合映射至集合函數,若對每一在內的,存在唯一一個在內的与其对应,則此函數為對射函數

換句話說,為雙射的若其為兩集合間的一一對應,亦即同時為單射滿射

例如,由整數集合的函數,其將每一個整數連結至整數,這是一個雙射函數;再看一個例子,函數,其將每一對實數連結至,這也是個雙射函數。

一雙射函數亦簡稱為雙射英语:bijection)或置換。後者一般較常使用在時。以由的所有雙射組成的集合標記為.

雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色,如在同構的定義(以及如同胚微分同構等相關概念)、置換群投影映射及許多其他概念的基本上。

複合函數與反函數[编辑]

一函數為雙射的若且唯若其逆關係也是個函數。在這情況,也會是雙射函數。

兩個雙射函數複合函數亦為雙射函數。其反函數為

一个複合所得的双射,左侧为单射,右侧为满射。

另一方面,若為雙射的,可知是單射的且是滿射的,但也僅限於此。

一由的關係為雙射函數若且唯若存在另一由的關係,使得上的恆等函數,且上的恆等函數。必然地,此兩個集合會有相同的

雙射與勢[编辑]

有限集合,則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實,在公理集合論裡,這正是「相同元素個數」的定義,且廣義化至無限集合,並導致了基數的概念,用以分辨無限集合的不同大小。

例子與反例[编辑]

  • 對任一集合,其恆等函數為雙射函數。
  • 函數,其形式為,是雙射的,因為對任一,存在一唯一使得
  • 指數函數,其形式為,不是雙射的:因為不存在一內的使得,故非為雙射。但若其陪域改成正實數,則便是雙射的了;其反函數為自然對數函數
  • 函數 : ,其形式為,不是雙射的:因為,故非為雙射。但如果把定義域也改成,則便是雙射的了;其反函數為正平方根函數。
  • 不是雙射函數,因為都在其定義域裡且都映射至
  • 不是雙射函數,因為和2都在其定義域裡且都映射至

性質[编辑]

  • 一由實數的函數是雙射的,若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
  • 為一集合,則由至其本身的雙射函數,加上其複合函數「」的運算,會形成一個,即為對稱群,其標記為
  • 取一定義域的子集及一陪域的子集,則
  • 為具相同有限集合,且,則下列三種說法是等價的:
  1. 為一雙射函數。
  2. 為一滿射函數。
  3. 為一單射函數。
  • 一个严格的单调函数是双射函数,但双射函数不一定是单调函数(例如y=x-3)

雙射與範疇論[编辑]

形式上,雙射函數恰好是集合範疇內的同構

另見[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Wolf. Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox. Freeman. 1998. 
  • Sundstrom. Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Prentice-Hall. 2003. 
  • Smith; Eggen; St.Andre. A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole). 2006. 
  • Schumacher. Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics. Addison-Wesley. 1996. 
  • O'Leary. The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall. 2003. 
  • Morash. Bridge to Abstract Mathematics. Random House. 
  • Maddox. Mathematical Thinking and Writing. Harcourt/ Academic Press. 2002. 
  • Lay. Analysis with an introduction to proof. Prentice Hall. 2001. 
  • Gilbert; Vanstone. An Introduction to Mathematical Thinking. Pearson Prentice-Hall. 2005. 
  • Fletcher; Patty. Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent. 
  • Iglewicz; Stoyle. An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan. 
  • Devlin, Keith. Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics. Chapman & Hall/ CRC Press. 2004. 
  • D'Angelo; West. Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs. Prentice Hall. 2000. 
  • Cupillari. The Nuts and Bolts of Proofs. Wadsworth. 
  • Bond. Introduction to Abstract Mathematics. Brooks/Cole. 
  • Barnier; Feldman. Introduction to Advanced Mathematics. Prentice Hall. 2000. 
  • Ash. A Primer of Abstract Mathematics. MAA. 

外部連結[编辑]