有理函數

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有理函數是可以表示為以下形式的函數

不全為0。

有理數式是多項式除法的商,有時稱為代數分數

漸近線[编辑]

  • 不失一般性可假設分子、分母互質。若存在,使得是分母的因子,則有理函數存在垂直漸近線
  • ,有水平漸近線
  • ,有水平漸近線
  • ,有斜漸近線

泰勒級數[编辑]

有理函數的泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係。反之,若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係,它對應的函數是有理函數。

部分分式[编辑]

部分分式,又稱部分分數分項分式,是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。

有理數式可分為真分式、假分式和帶分式,這和一般分數中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。

若有理數式的分母可分解為數個多項式的積,其部分分數便是,其中的因子,是次數不大於Q(x)/h_n(x)的多項式。

例子[编辑]

  1. 分拆

分子的次數是3,分母的是2,所以先將它轉成真分式和多項式的和(即帶分式):

因為,所以

其中A和B是常数。两边乘以,得

比較係數,得

解得

故:

也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如,当x=4时,我们有

当x=-7时,我们有

應用[编辑]

積分[编辑]

部分分數[编辑]

在計算有理數式的積分時,部分分數的方法很有用,因為分母的1和2次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。

  • 分母為1次多項式:求

原式變為

  • 分母次數為2:求

若多項式可分解為兩個一次多項式的積(即),則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解,則將它配方,再用各種替代法解決。

例如:

因為

考慮

將分子分解,以便應用上面的替換:

左邊:

另一邊:

代入

另一種可行的代入方法是:

奧斯特洛格拉德斯基方法[编辑]

奧斯特洛格拉德斯基方法(Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method)是這樣的:

設求積的有理函數為 ,其中是多項式,的次數少於)。設為Q的導數Q'和Q的最大公因數,。則有:

其中為多項式,

應用例子[编辑]

兩邊取導數:

通分母,右邊的分子為:

比較分子的多項式的係數,得。於是有

後者可用部分分數的方法求得。

證明[编辑]

兩邊乘以

由於 ,而都是的倍數,所以是多項式。

比較兩邊多項式的次數:

因此有解。

Hermite方法[编辑]

應用[编辑]

參考[编辑]