可测函数
跳到导航
跳到搜索
可测函数是可测空间之间的保持(可測集合)結構的函数,也是勒貝格積分或實分析中主要討論的函數。数学分析中的不可测函数一般视为病态的。
如果Σ是集合X上的σ代数,Τ是Y上的σ代数,如果Τ内的所有集合的原像都在Σ内,则称函数f : X → Y是Σ/Τ可测的。
根据惯例,如果Y是某个拓扑空间,例如实数空间,或复数空间,则我们通常使用Y上的开集所生成的波莱尔σ代数,除非另外说明。在这种情况下,可测空间(X,Σ)又称为波莱尔空间。
如果从上下文很清楚Τ和Σ是什么,则函数f可以称为Σ可测的,或干脆称为可测的。
正式定義[编辑]
設與為可測空間,也就是指Σ是集合X上的σ代數,Τ是Y上的σ代數,若一個函數被稱為可測函數,則對所有的,在的原像屬於,也就是:
如果 是可測函數, 我們會記作:
去強調 -代數 和 的依賴性。
特殊可测函数[编辑]
如果和是波莱尔空间,则可测函数又称为波莱尔函数。所有连续函数都是波莱尔函数,但不是所有波莱尔函数都是连续函数。然而,可测函数几乎是连续函数;参见卢辛定理。
可测函数的性质[编辑]
- 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
- 如果函数f是可测的,函数g是可测的,那么复合函数是可测的。[1]
- 可数个可测函数的最小上界也是可测的。如果是一个可测函数序列,在[−∞, +∞]中取值,那么也是可测的。
- 可测函数的逐点极限是可测的。(连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件,例如一致收敛。)
- 只有可测函数可以进行勒贝格积分。
- 一个勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R,使得对于每一个实数a,集合
不可测函数[编辑]
不是所有的函数都是可测的。例如,如果是实数轴的一个不可测子集,那么它的指示函数是不可测的。
参见[编辑]
参考文献[编辑]
- ^ Billingsley, Patrick. Probability and Measure. Wiley. 1995. ISBN 0-471-00710-2.