可测函数

各種函數
x ↦ f (x)
不同定義域和陪域
$X$ → $\mathbb {B}$, $\mathbb {B}$ → $X$, $\mathbb {B} ^{n}$ → $\mathbb {B}$ $X$ → $\mathbb {Z}$, $\mathbb {Z} ^{+}$→ $X$ $X$ → $\mathbb {R}$, $\mathbb {R}$ → $X$, $\mathbb {R} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {C}$, $\mathbb {C}$ → $X$, $\mathbb {C} ^{n}$ → $X$
函數類/性質
常值 恆等 線性 多項式 有理 代數 解析 光滑 連續 可測 單射 滿射 双射
構造
限制 複合 λ 逆
推廣
偏 多值 隱

可测函数是可测空间之间的保持（可測集合）結構的函数，也是勒貝格積分或實分析中主要討論的函數。数学分析中的不可测函数一般视为病态的。

如果Σ是集合X上的σ代数，Τ是Y上的σ代数，如果Τ内的所有集合的原像都在Σ内，则称函数f : X → Y是Σ/Τ可测的。

根据惯例，如果Y是某个拓扑空间，例如实数空间$\mathbb {R}$，或复数空间$\mathbb {C}$，则我们通常使用Y上的开集所生成的波莱尔σ代数，除非另外说明。在这种情况下，可测空间(X,Σ)又称为波莱尔空间。

如果从上下文很清楚Τ和Σ是什么，则函数f可以称为Σ可测的，或干脆称为可测的。

正式定義

設$(X,\Sigma )$與$(Y,\mathrm {T} )$為可測空間，也就是指Σ是集合X上的σ代數，Τ是Y上的σ代數，若一個函數$f:X\to Y$被稱為可測函數，則對所有的$E\in \mathrm {T}$，$E$在$f$的原像屬於$\Sigma$，也就是:

$f^{-1}(E):=\{x\in X|\;f(x)\in E\}\in \Sigma ,\;\;\forall E\in \mathrm {T} .$

如果 $f:X\to Y$ 是可測函數, 我們會記作:

$f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).$

去強調 $\sigma$-代數 $\Sigma$ 和 $\mathrm {T}$的依賴性。

特殊可测函数

如果$(X,\Sigma )$和$(Y,\mathrm {T} )$是波莱尔空间，则可测函数$f$又称为波莱尔函数。所有连续函数都是波莱尔函数，但不是所有波莱尔函数都是连续函数。然而，可测函数几乎是连续函数；参见卢辛定理。

根据定义，随机变量是定义在样本空间上的可测函数。

可测函数的性质

• 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
• 如果函数f是$\Sigma _{1}/\Sigma _{2}$可测的，函数g是$\Sigma _{2}/\mathrm {T}$可测的，那么复合函数$g\circ f$是$\Sigma _{1}/T$可测的。
• 可数个可测函数的最小上界也是可测的。如果$(f_{n})$是一个可测函数序列，在[−∞, +∞]中取值，那么$\limsup _{n}f_{n}$也是可测的。
• 可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）
• 只有可测函数可以进行勒贝格积分。
• 一个勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合

$\{x\in \mathbb {R} :f(x)>a\}$

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数

不是所有的函数都是可测的。例如，如果$A$是实数轴$\mathbb {R}$的一个不可测子集，那么它的指示函数$1_{A}(x)$是不可测的。

参见

• 可测函数的向量空间：$L^{p}$空间
• 保测动态系统