集合族

集族（英語：family of sets）在通常語境下指代一種特定的集合，若稱一個集合為一個集族，則代表其中所有元素也都是集合。

在集合論中，由於所有物件皆被視作集合，故嚴格意義上所有集合皆為集族，即使是沒有任何元素的空集合也算集族。

定義

由於嚴格意義上，“集族”與“集合”兩詞在語意相同，故後文只討論“通常語境下”的集族。以下是一些與“族”相關的字詞：

• 集族：給定一個集合$S$，我們稱其為一個集族，若且唯若其所有元素$s$都是集合。

• 子集族（英語：family of subsets）：給定一個集合$S$，我們稱集合$F$為$S$的子集族（或稱$S$上的集族），若且唯若$F\subseteq {\mathcal {P}}(S)$（其中 ${\mathcal {P}}(S)$ 表示 $S$ 的冪集）。換句話說，$F$的所有元素$f$都滿足$f\subseteq S$。

• 索引族（英語：indexed family）：給定一個集合$S$及索引集$I$，對任意映射$f:I\to S$，構成一個索引族$\{s_{i}\}_{i\in I}$，其中$s_{i}=f(i)\in S$，$i\in I$。由於映射$f$允許不同的索引$i$和$j$對應到$S$的一個相同元素$s$，因此索引族在結構上實為一個多重集。

需要注意的是，集族和子集族一定是集族，但索引族並沒有此硬性要求，在此出現僅因與集族共用“族”一字。

例子

要構造一個集族並不困難，例如

$S=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}$就是一個集族。

子集族亦是同理，以下為一些子集族的例子：

• 給定集合$S=\{a,b,c\}$，取$f_{1}=\varnothing$、$f_{2}=\{a\}$、$f_{3}=\{a,c\}$、$f_{4}=\{a,b,c\}$，此時$F=\{f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}\}$是$S$的一個子集族。
• 給定集合$S$，${\mathcal {P}}(S)$是$S$上的一個子集族。
• 給定集合$S$，其所有$k$元素子集會形成一個$S$的$k$元素子集族$S^{(k)}=\{X\in {\mathcal {P}}(S)\mid |X|=k\}$。

還有一些滿足特殊性質的集族：

• 斯伯納族是一個其中任何集合都不是其他集合之子集的集族。斯伯納定理限定了斯伯納族的最大階。
• 赫利族是一個任何交集為空的最小子族的階有界的集族。赫利定理表明，有限維歐幾里得空間中的凸集形成了赫利族。
• 所有的序數會形成一個「大」集族，它是真類而不是一個集合。

性质

• 給定有限集合$M$，滿足$|M|=m$，則

$|{\mathcal {P}}(M)|=\sum _{k=0}^{m}\left|M^{(k)}\right|=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}=2^{m}$。

而對任意$M$上的子集族$M'$，由於有$M'\subseteq {\mathcal {P}}(M)$，因此$|M'|\leq 2^{m}$。

• 由菲利浦·赫尔提出的赫尔婚姻定理给出了非空集(允许重复)的有限族具有互异代表元系的充要条件。