无穷公理

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公理化集合论和使用它的逻辑数学计算机科学中,无穷公理Zermelo-Fraenkel 集合论公理之一。

形式陈述[编辑]

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中,这个公理读做:

\exists \mathbf{N}: \varnothing \in \mathbf{N} \land (\forall x: x \in \mathbf{N} \implies x \cup \{x\} \in \mathbf{N})

或用日常语言: 存在一个集合 N,使得空集N 中,并且只要 xN 的成员,则通过 x 与它的单元素集合 {x} 的并集形成的集合也是 N 的成员。这种集合有时也叫做归纳集合。归纳集合是带有如下性质的集合 X,对于所有 x \in Xx 的后继 x' 也是 X 的一个元素。

解释[编辑]

要理解这个公理,首先我们要定义 x 的后继为 x ∪ {x}。注意配对公理允许我们形成单元素集合 {x},还允许形成这种对。后继被用来定义自然数的常用的集合论编码。在这种编码中,零是空集 (0 = {}),而 1 是 0 的后继: 1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0}。

类似的, 2 是1 的后继: 2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1},

以此类推。这个定义的推论是所有自然数都等于所有前驱的自然数的集合。

我们可能希望形成所有自然数的集合,但是只使用其他公理这是不可能的。无穷公理因此假定这个集合的存在。它通过类似于数学归纳法的方法完成的,通过首先假定有一个集合 S 包含零,并接着强加对于 S 的所有元素,这个元素的后继也在 S 中。

这个集合 S 可以包含不只是自然数,它们形成它的子集,但是我们可以应用分类公理模式来除去不想要的元素,留下所有自然数的集合 N。通过外延公理这个集合是唯一的。应用分类(分离)公理的结果是:

\exists \mathbf{N} \forall n (n \in \mathbf{N} \iff ([\forall k \in n(\bot) \or \exists k \in n( \forall j \in k(j \in n) \land \forall j \in n(j=k \lor j \in k))] \land
\forall m \in n[\forall k \in m(\bot) \or \exists k \in n(k \in m \land \forall j \in k(j \in m) \land \forall j \in m(j=k \lor j \in k))]))

用日常语言说,所有自然数的集合存在;这里的自然数是要么是零要么是一个后继并且它的每个元素要么是零要么是它的另外一个元素的后继。

所以这个公理的本质是:

有一个集合包含所有的自然数。

无穷公理也是von Neumann-Bernays-Gödel 公理之一。

引用[编辑]