公理化集合论

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數學中,公理化集合论集合論透過建立一階邏輯的嚴謹重整,以解決樸素集合論中出現的悖論。集合論的基礎主要由德國數學家格奧爾格·康托爾在19世紀末建立。

嚴謹集合論的源起[编辑]

集合論的公理[编辑]

集合論中其中一套由Skolem最後整理的公理系統,称為Zermelo-Fraenkel集合論(ZF)。實際上,這個名稱通常不包括歷史上遠比今天具爭議性的選擇公理,當包括了選擇公理,這套系統被稱為ZFC。

  1. 外延公理:(Axiom of extensionality)兩個集合相同,若且唯若它們擁有相同的元素
  2. 分類公理:(Axiom schema of specification / axiom schema of separation / axiom schema of restricted comprehension)或稱子集公理,給出任何集合及命題P(x),存在著一個原來集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。
  3. 配對公理:(Axiom of pairing)假如x, y為集合,那就有另一個集合{x,y}包含xy作為它的僅有元素。
  4. 並集公理:(Axiom of union)每一個集合也有一個並集。也就是說,對於每一個集合x,也總存在著另一個集合y,而y的元素也就是而且只會是x的元素的元素。
  5. 空集公理:存在著一個不包含任何元素的集合,我們記這個空集合為{ }。可由分類公理得出。
  6. 無窮公理:(Axiom of infinity)存在著一個集合x空集{ }為其元素之一,且對於任何x中的元素yy ∪ {y}也是x的元素。
  7. 替代公理:(Axiom schema of replacement)
  8. 冪集公理:(Axiom of power set)每一個集合也有其冪集。那就是,對於任何的x,存在著一個集合y,使y的元素是而且只會是x的子集。
  9. 正規公理:(Axiom of regularity / Axiom of foundation)每一個非空集合x,總包含著一元素y,使xy不交集
  10. 選擇公理:(Axiom of choice,Zermelo's version)給出一個集合x,其元素皆為互不相交的非空集,那總存在著一個集合yx的一個選擇集合),包含x每一個元素的仅仅一個元素。

命題在ZFC中的獨立性[编辑]

引用[编辑]

  • Keith Devlin, 1992. The Joy of Sets, 2nd ed. Springer-Verlag.
  • Potter, Michael, 2004. Set Theory and Its Philosophy. Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-927041-4.
  • Suppes, Patrick, 1972. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4.
  • Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.

参见[编辑]

外部链接[编辑]

For information on the history of set theory notation, see: