逻辑代数

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逻辑代数,也叫做开关代数(switching algebra)、布尔代数(Boolean algebra),起源于英国数学家乔治·布尔(George Boole)于1849年创立的布尔代数,是数字电路设计理论中的数字逻辑科目的重要组成部分。逻辑变量之间的因果关系以及依据这些关系进行的布尔逻辑推理,可用代数运算表示出来,这种代数称为逻辑代数。其定义如下:逻辑代数是一个由逻辑变量集、常量 0 和 1 及“与”、“或”、“非”三种运算所构成的代数系统。其中,逻辑变量集是指逻辑代数中所有变量的集合。

逻辑代数中的几个概念[编辑]

参与逻辑运算的变量叫逻辑变量,用字母A,B……表示。每个变量的取值非0 即1。 0、1不表示数的大小,而是代表两种不同的逻辑状态。

正、负逻辑规定:

  • 正逻辑体制规定:高电平为逻辑1,低电平为逻辑0。
  • 负逻辑体制规定:低电平为逻辑1,高电平为逻辑0。

逻辑函数:如果有若干个逻辑变量(如A、B、C、D)按与、或、非三种基本运算组合在一起,得到一个表达式L。对逻辑变量的任意一组取值(如0000、0001、0010)L有唯一的值与之对应,则称L为逻辑函数。逻辑变量A、B、C、D的逻辑函数记为:L=f(A、B、C、D)

逻辑运算与性质[编辑]

两个主要的二元运算的符号定义为 \land (逻辑与)和 \lor (逻辑或),把单一的一元运算的符号定义为 \lnot (逻辑非)。我们还使用值 0 (逻辑假)和 1 (逻辑真)。逻辑代数有下列性质:

a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c a \land (b \land c) = (a \land b) \land c 结合律
a \lor b = b \lor a a \land  b = b \land a 交换律
a  \lor (a \land b) = a a \land (a \lor b) = a 吸收律
a \lor  (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c) a \land  (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c) 分配律
a \lor  \lnot a = 1 a \land \lnot a = 0 互补律
a \lor a = a a \land a = a 幂等律
a \lor 0 = a a \land 1 = a 有界律
a \lor 1 = 1 a \land 0 = 0
\lnot 0 = 1 \lnot 1 = 0 0 和 1 是互补的
\lnot (a \lor b) = \lnot a  \land \lnot b \lnot (a \land b) = \lnot a  \lor \lnot b 德·摩根定律
 \lnot \lnot a = a 对合律
布尔运算的各种表示

逻辑代数的基本规则[编辑]

代入规则[编辑]

任何一个含有变量 X 的等式,如果将所有出现 X 的位置,都代之以一个逻辑函数 F,此等式仍然成立。

对偶规则[编辑]

设 F 是一个逻辑函数式,如果将 F 中的所有的 * 变成 +,+ 变成 *,0 变成 1,1 变成 0,而变量保持不变。那么就的得到了一个逻辑函数式 F',这个 F' 就称为 F 的对偶式。如果两个逻辑函数 F 和 G 相等,则它们各自的对偶式 F' 和 G' 也相等。

反演规则[编辑]

当已知一个逻辑函数 F,要求 ¬F 时,只要把 F 中的所有 * 变成 +,+ 变成 *,0 变成 1,1 变成 0,原变量变成反变量,反变量变成原变量,即得 ¬F。

逻辑函数的标准形式[编辑]

逻辑变量的逻辑与运算叫做与项,与项的逻辑或运算构成了逻辑函数的与或式,也叫做积之和式(SP form)。

逻辑变量的逻辑或运算叫做或项,或项的逻辑与运算构成了逻辑函数的或与式,也叫做和之积式(PS form)。

最小项[编辑]

对于 n 个变量的逻辑函数而言,它的与项如果包含全部 n 个变量,即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次,那么这个与项就称为该逻辑函数的最小项。

最大项[编辑]

对于 n 个变量的逻辑函数而言,它的或项如果包含 全部n 个变量,即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次,那么这个或项就称为该逻辑函数的最大项。

逻辑函数的化简[编辑]

运用逻辑代数的基本公式及规则可以对逻辑函数进行变换,从而得到表达式的最简形式。这里所谓的最简形式是指最简与或式或者是最简或与式,它们的判别标准有两条:(1)项数最少;(2)在项数最少的条件下,项内的文字最少。

卡诺图是遵循一定规律构成的。由于这些规律,使逻辑代数的许多特性在图形上得到形象而直观的体现,从而使它成为公式证明、函数化简的有力工具。

参见[编辑]