ZFC系統無法確定的命題列表

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ZFC系統無法確定的命題列表乃一數學命題列表。在ZFC系統(ZF公理加上选择公理公理化集合论之典範)被假設為相容的前提下,以下的數學命題被證明了與ZFC系統彼此獨立。與ZFC獨立(有時稱為在ZFC中不能確定)乃指該命題不能從ZFC的公理出發而被證明或證否。

公理化集合论[编辑]

1931年库尔特·哥德尔證明了第一個ZFC獨立結果,其為「ZFC本身之相容性,乃獨立於ZFC」(哥德尔不完备定理)。

而以下命題亦獨立於ZFC:

推導鏈之圖解

我們有以下之推導鏈:

V = L → ◊ → CH.
V = L → GCH → CH.
CH → MA

另一個亦為獨立於ZFC的命題是:

如果集合S的元素少於集合(在的意義上),那麼S子集合少於T

好一些與大基數存在性有關的命題,並不能在ZFC中被證明(以ZFC為相容的前提下)。它們與ZFC的彼此獨立,以ZFC的相容性為前提,而這是大部份集合論學者所相信的情況。這些命題可以足夠強以致能證明ZFC的相容性。這亦帶出了它們與ZFC相容並不能被ZFC所證明(透過哥德尔不完备定理)的結果。以下這些命題皆歸入此類:

假設合適大基數相容的情況下[编辑]

The following statements can be proven to be independent of ZFC assuming the consistency of a suitable large cardinal:

實數線上的集合論[编辑]

有很多實數線上的基數不變量测度理論贝尔纲定理相關的好些命題有所連結,而其獨立於ZFC。當非平凡的關係可以在他們之間被證明,大部份的基數不變量皆介於120之間。這是一個實數線集合論的主要研究範圍(見Cichoń's diagram)。MA有一個趨勢使得大部份有趣的基數不變量皆等於20

A subset X of the real line is a strong measure zero set if to every sequence (εn) of positive reals there exists a sequence of intervals (In) which covers X and such that In has length at most εn. Borel's conjecture, that every strong measure zero set is countable, is independent of ZFC.

A subset X of the real line is -dense if every open interval contains -many elements of X. Whether all -dense sets are order-isomorphic is independent of ZFC.[2]

序理论[编辑]

萨斯林问题英语Suslin's problemSuslin's problem)提出一個指定的特性列表能否characterizes一個實數R的有序集合。這是在ZFC中未決的[3]。 A Suslin line is an ordered set which satisfies this specific list of properties but is not order-isomorphic to R. 鑽石原則證明了Suslin line的存在性,而MA + ¬CH 推導出EATS(every Aronszajn tree is special;每一個Aronszajn tree皆為特別)[4], 而推導出(但不等價於)[5]Suslin line的不存在性。Ronald Jensen證明了CH並不推出Suslin line的存在性[6]

假設不可達基數的相容性之前提下,Kurepa tree的存在性與ZFC獨立[7]

Existence of a partition of the ordinal number into two colors with no monochromatic uncountable sequentially closed subset is independent of ZFC, ZFC + CH, and ZFC + ¬CH, assuming consistency of a Mahlo cardinal.[8][9][10] This theorem of Shelah answers a question of H. Friedman.

抽象代数[编辑]

数论[编辑]

『一個人能否寫下一個具體的多項式pZ[x1,...x9]使得命題「存在著整數m1,...,m9 使得 p(m1,...,m9)=0」』為無法被ZFC證明或證否(假設ZFC相容)[11]。這來自尤里·马季亚谢维奇希爾伯特第十問題的解析;這多項式被建構使得它有整數根若且唯若ZFC乃不相容。

测度理論[编辑]

富比尼定理對於正函數的一個更強版本,當中該函數不再假設為可被測度而僅僅那2個迭代積分英语Iterated integralIterated integral)有明確定義並存在,為獨立於ZFC。另一方面,CH意味了存在著一個單位平方上的函數,其迭代積分不相等——該函數只為「等價於勢ω1良序关系的[0, 1]序」之指示函数。類似例子可以以MA去構建。另一方面,強富比尼定理的相容性由Harvey Friedman首次展示[12]。它亦可以由Freiling's axiom of symmetry的一個變種推導而出[13]

拓扑学[编辑]

正規Moore Space猜想(每一個正規的Moore Space皆為可度量),能夠在假設CH或MA + ¬CH的情況下被證否,而能夠在假設一個意味大基數存在性的公理的情況下被證明。因此,granted large cardinals, 正規Moore Space猜想獨立於ZFC。

泛函分析[编辑]

模型论[编辑]

参考[编辑]

  1. ^ Kunen, Kenneth. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. 1980. ISBN 0-444-86839-9. 
  2. ^ Baumgartner, J., All -dense sets of reals can be isomorphic, Fund. Math. 79, pp.101 – 106, 1973
  3. ^ Solovay, R. M.; Tennenbaum, S. Iterated Cohen extensions and Souslin's problem. Annals of Mathematics. Second Series. 1971, 94 (2): 201–245. JSTOR 1970860. doi:10.2307/1970860. 
  4. ^ Baumgartner, J., J. Malitz, and W. Reiehart, Embedding trees in the rationals, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 67, pp. 1746 – 1753, 1970
  5. ^ Shelah, S., Free limits of forcing and more on Aronszajn trees, Israel Journal of Mathematics, 40, pp. 1 – 32, 1971
  6. ^ Devlin, K., and H. Johnsbraten, The Souslin Problem, Lecture Notes on Mathematics 405, Springer, 1974
  7. ^ Silver, J., The independence of Kurepa's conjecture and two-cardinal conjectures in model theory, in Axiomatic Set Theory, Proc. Symp, in Pure Mathematics (13) pp. 383 – 390, 1967
  8. ^ Shelah, S., Proper and Improper Forcing, Springer 1992
  9. ^ Schlindwein, Chaz, Shelah's work on non-semiproper iterations I, Archive for Mathematical Logic (47) 2008 pp. 579 – 606
  10. ^ Schlindwein, Chaz, Shelah's work on non-semiproper iterations II, Journal of Symbolic Logic (66) 2001, pp. 1865 – 1883
  11. ^ James P. Jones. Undecidable diophantine equations. Bull. Amer. Math. Soc. 1980, 3 (2): 859–862. doi:10.1090/s0273-0979-1980-14832-6. 
  12. ^ Friedman, Harvey. A Consistent Fubini-Tonelli Theorem for Nonmeasurable Functions. Illinois J. Math. 1980, 24 (3): 390–395. MR 573474. 
  13. ^ Freiling, Chris. Axioms of symmetry: throwing darts at the real number line. Journal of Symbolic Logic. 1986, 51 (1): 190–200. JSTOR 2273955. MR 830085. doi:10.2307/2273955. 

外部链接[编辑]