實數線

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数学上,实数轴就是实数的集合 R。然而,这一术语通常在 R 被当作某种空间(诸如拓扑空间向量空间)的时候使用。尽管至少早在古希腊时代,人们就开始研究实数线,但直到1872年,它才被严格地定义。而自始至终,它一直是在数学的许多分支中扮演重要角色的实例。

定义[编辑]

实数线具有一个标准拓扑,它可以通过两种等价的方法引入。

  • 第一,实数满足全序关系,它们具有序拓扑
  • 第二,实数能够通过绝对值 的度量转换到度量空间。这一度量给出 R 上等价于序拓扑的拓扑。

应用[编辑]

它既是可缩空间局部紧致空间,也是仿紧致空间第二可数空间。 它还具有标准可微结构,使它成为可微流形。 (由于可微同构,该拓扑空间只支持一个可微结构。) 事实上,R 是历史上研究这些数学结构的第一个实例,它启示了现代数学这些分支。 (实际上,上述这些术语中的其中一些在没有 R 的情况下甚至不能被定义。)

  • 作为向量空间,实数线是实数 R(即其自身)上的 1 维向量空间

它具有标准内积,使它成为欧几里得空间。 (这个内积就是普通的实数的乘法。) 作为向量空间,它并不引起注意。实际上是 2 维欧几里得空间首先被作为向量空间进行研究的。 然而,仍然可以说,由于向量空间首先是在 R 上进行研究的,它启示了线性代数

  • R 也是环,甚至是的主要实例。

实数完备域实际上是第一个被研究的域,所以它也启示了抽象代数。 然而,在纯代数文献中,R 几乎不被称为“线”。

更多信息,请参见实数

相關條目[编辑]

參考文獻[编辑]