在數學上,特別是拓樸學中,開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。
通常微積分的課程中,會借助歐式空間的距離去描述數列極限;直觀上,當
越來越大時數列
跟
要多靠近有多靠近的時候,就說
是數列
的極限,但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」,開集就是來自於"
點附近"這樣的直觀概念。類似的,函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。
满足
的点
着蓝色。满足
的点
着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。
歐式空間[编辑]
代表
維歐式空間, 而
中的任兩點距離(歐式距離)為

若
,且對所有
,存在一个
,使得對所有
,只要
就有
,那麼就說子集
是
中的一個開集。也就是說,開集
裡的所有點
都有一個以
為中心的開球完全包含於
。
賦距空间[编辑]
歐式空間的開集很容易地推廣到賦距空间
中:
是
的子集,若對所有
中的點
,存在
使得對所有
中的點
,只要
,则
也屬於
,或以正式的邏輯符號表述為
則稱
是
的一個開集。也就是說,如果所有
中的点都有完全包含於
的開球,
便是开集。
這的確推廣了歐式空間部分的定義,因為歐式距離和歐式空間本身就組成了一個賦距空間。
賦距空間的開集還會有以下的性質:
關於上面性質的證明,(1)是非常顯然的;(2)只需取每一點比較小的開球即可[註 1];(3)根據聯集的定義也是非常顯然的[註 2]。
事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。
拓撲空間[编辑]
開集是拓扑空间定義的基石;也就是從任意母集合
出發,再選取
的特定的子集族
,規定
中的集合就是開集,这樣的子集族
被叫做
上的拓樸:
根據上一節賦距空間的性質,取
為所有
的開集所構成的子集族,則顯然
也是一拓撲空間。
- 度量空间
中,以点
为中心,
为半径的球体
为开集,任意的开集
包含以
为中心,充分小的
为半径的球体
。
- 流形中的开集为子流形。
开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构(处理邻近性与收敛此類概念,比如度量空间和一致空间)時,都會用到开集的概念。
拓扑空间X的每個子集A都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。
给定拓扑空间X和Y,从X到Y的函数f是连续的,如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射,如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。
实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。
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