开集

在數學上，特別是拓樸學中，開集是一個將實數上的開區間的概念進行抽象化後的一個抽象物件。一個簡單的例子便是在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，我們可以簡單的將 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的開集定義成是:那些 $\mathbb {R} ^{n}$ 中集合，集合中的每一個點都有一個 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的球包含著並同時被包含於集合內。(或者是說，一個集合是開集，如果這個集合沒有包含著它的邊界點)。然而，一般來說，一個開集也可以很抽象:一串集合列裡面集合都能被稱作是開集，只要這串集合列滿足以下性質: (1) 任意數量的集合的聯集還是在這個集合列中。(2) 有限數量的集合的交集還是在這個集合列中。(3) 所有集合所在的空間跟空集都要在這個集合列之中。上述的這些條件看起來非常寬鬆，以至於我們有很好的靈活性去選取開集。

開集的概念提供了一個基礎的方式去描述點與點之間的「靠近程度」而不需要仰賴於距離的定義。

一旦我們找定好了開集，我們便可以開始應用開集去定義關於連續，連通還有緊緻等性質的概念了。

满足

x^{2}+y^{2}=r^{2}

的点

(x,y)

着蓝色。满足

x^{2}+y^{2}<r^{2}

的点

(x,y)

着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定義[编辑]

可以按不同的一般性程度來形式化開集的概念。

函数分析[编辑]

在Rⁿ中点集是开集，如果在这个集合的所有点P都是内部点。

欧几里得空间[编辑]

$n$ 維歐式空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集 $U$ 是开集，如果给定任何在 $U$ 中的點 $x$ ，存在一个实数 $\epsilon >0$ 使得，如果给定任何 $\mathbb {R} ^{n}$ 中点 $y$ ，有著從 $x$ 到它的歐式距離小於 $\epsilon$ ，则 $y$ 也属于 $U$ 。等价的说:如果所有 $U$ 中的点有包含在 $U$ 中的邻域，則 $U$ 是开集。

賦距空间[编辑]

賦距空间 $(M,d)$ 的子集 $U$ 是开集，如果给定任何 $U$ 中的點 $x$ ，存在一个实数 $\epsilon >0$ 使得，如果给定任何 $M$ 中的点 $y$ ，有 $d(x,y)<\epsilon$ ，则 $y$ 也屬於 $U$ 。

等价的说:如果所有 $U$ 中的点有包含在 $U$ 中的邻域， $U$ 是开集。

这推廣了欧几里得空间的例子，因为带有欧几里得距离的欧几里得空间也是度量空间。

拓扑空间[编辑]

在拓扑空间中，开集是一項基础性的概念。你可以從任意集合 $X$ 出發，再選取 $X$ 的某個特定的子集族 $\tau$ ，使 $\tau$ 中的集合都满足作為開集應有的每一性质。这樣的子集族 $\tau$ 被叫做 $X$ 上的“拓樸”，而这个集合族的成员被叫做拓扑空间 $(X,T)$ 的开集。

更精確地說:給定集合 $X$ ，給予一個集合串 $\tau$ 里面的每一個元素都是 $X$ 中的子集。這個集合串 $\tau$ 裡面的元素可以被稱為開集當他們滿足以下性質:

$X\in \tau$ 而且 $\varnothing \in \tau \qquad \qquad \qquad$ ( $X$ 以及 $\varnothing$ 都是開集)
$\left\{U_{i}:i\in I\right\}\subseteq \tau$ 然後有 $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau \qquad$ (開集的任意聯集都是開集)
$U_{1},\ldots U_{n}\in \tau$ 然後有 $U_{1},\ldots U_{n}\in \tau$ (開集的任意有限交集都是開集)

开集的拓扑定义推广了度量空间定义：如果你從一个度量空间出發并如上述般定义开集，则所有开集的集合族将形成在这个度量空间上的拓扑。因此自然地，任何度量空间都是拓扑空间。（但有不是度量空间的拓扑空间。）

性质[编辑]

空集是開集（注意空集也是閉集）。
定义拓扑的集合X既开又闭。
任意个开集的并集是开集。^{[註 1]}
有限个开集的交集是开集。^{[註 2]}

例子[编辑]

度量空间 $(X,d)$ 中，以点 $x\in X$ 为中心， $\varepsilon$ 为半径的球体 $B(x,\varepsilon )$ 为开集，任意的开集 $A$ 包含以 $x\in A$ 为中心，充分小的 $\varepsilon$ 为半径的球体 $B(x,\varepsilon )$ 。
流形中的开集为子流形。

用处[编辑]

开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此類概念，比如度量空间和一致空间）時，都會用到开集的概念。

拓扑空间X的每個子集A都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间X和Y，从X到Y的函数f是连续的，如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射，如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。

实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

注释[编辑]

^ 开集等价于每个点都有一个邻域包含在该集合内。因此任意个开集的并集仍然保持上述性质。
^ 直观上，开集是不包含其边界的集合。而无限多开集的交集有可能收敛到包含边界的闭集。例如，三维欧式空间上以原点为中心的开球，半径为1.1、1.01、1.001、...，其交集为半径为1.0的闭球。

[1] 开集等价于每个点都有一个邻域包含在该集合内。因此任意个开集的并集仍然保持上述性质。

[2] 直观上，开集是不包含其边界的集合。而无限多开集的交集有可能收敛到包含边界的闭集。例如，三维欧式空间上以原点为中心的开球，半径为1.1、1.01、1.001、...，其交集为半径为1.0的闭球。

[註 1]

[註 2]

开集

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