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开集

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數學上,特別是拓樸學中,開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合

通常微積分的課程中,會借助歐式空間距離去描述數列極限;直觀上,當 越來越大時數列 要多靠近有多靠近的時,就說 是數列 的極限,但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」,開集就是來自於" 點附近"這樣的直觀概念。類似的,函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。

满足的点着蓝色。满足的点着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定義[编辑]

歐式空間[编辑]

代表 維歐式空間, 而 中的任兩點距離(歐式距離)為

,且對所有 ,存在一个 ,使得對所有 ,只要 就有 ,那麼就說子集中的一個開集。也就是說,開集 裡的所有點 都有一個以 為中心的開球完全包含於

賦距空间[编辑]

歐式空間的開集很容易地推廣到賦距空间中:

的子集,若對所有 中的點 ,存在 使得對所有中的點 ,只要 ,则 也屬於,或以正式的邏輯符號表述為

則稱 的一個開集。也就是說,如果所有 中的点都有完全包含於 開球便是开集。

這的確推廣了歐式空間部分的定義,因為歐式距離和歐式空間本身就組成了一個賦距空間。

賦距空間的開集還會有以下的性質:

定理:

為賦距空間,則

(1) 也是 的開集。

(2) 若 都是 的開集,則 也是 的開集。

(3) 的一個子集族),若所有 都是開集,則 也是 的開集。(也就是說,任意數量開集的聯集也是開集)

關於上面性質的證明,(1)是非常顯然的;(2)只需取每一點比較小的開球即可[註 1];(3)根據聯集的定義也是非常顯然的[註 2]

事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。

拓撲空間[编辑]

開集是拓扑空间定義的基石;也就是從任意母集合 出發,再選取 的特定的子集族 ,規定 中的集合就是開集,这樣的子集族 被叫做 上的拓樸

為集合,若 滿足

(1)

(2) 若

(3) ,則 。(也就是說,任意數量開集的聯集也是開集)

則稱 上的拓樸,並稱 為一拓撲空間。任何 被稱為開集

根據上一節賦距空間的性質,取 為所有 的開集所構成的子集族,則顯然 也是一拓撲空間。

例子[编辑]

  • 度量空间中,以点为中心,为半径的球体为开集,任意的开集包含以为中心,充分小的为半径的球体
  • 流形中的开集为子流形

用处[编辑]

开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构(处理邻近性收敛此類概念,比如度量空间一致空间)時,都會用到开集的概念。

拓扑空间X的每個子集A都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做A内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间XY,从XY函数f连续的,如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射,如果在X中的所有开集的Y中的开集。

实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

相关条目[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ 若 R > r,以 x 為中心半徑為 R 的開球包含於集合 A;以 x 為中心半徑為 r 的開球包含於集合 B;,那以 x 為中心半徑為r的開球一定包含於A ∩ B。
  2. ^ 開集直觀上意為每點都有個開球完全在此集合内,而任意個開集的聯集仍保持上述性質。