开集

開集是指不包含自己邊界點的集合。或者說，開集包含的任意一點的充分小的鄰域都包含在其自身中。

满足$x^2+y^2=r^2$的点$(x, y)$着蓝色。满足$x^2+y^2<r^2$的点$(x, y)$着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

例如，实数线上的由不等式$2<x<5 \,$规定的集合称为开区间，是开集。这时候的边界为实数轴上的点2和5，如由不等式$2\leq x \leq 5$，或者$2< x \leq 5$规定的区间由于包含其边界，因此不能称之为开集。

开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的，通常先公理化开集，然后通过其定义边界的概念。（详细请参照拓扑空间）

定义

可以按不同的一般性程度来形式化开集的概念。

函数分析

在Rⁿ中点集是开集，如果在这个集合的所有点P都是内部点。

欧几里得空间

n维欧几里得空间Rⁿ的子集U是开集，如果给定任何在U中的点x，存在一个实数ε > 0使得，如果给定任何Rⁿ中点y，有着从x到它的欧几里得距离小于ε，则y也属于U。等价的说，U是开集，如果所有U中的点有包含在U中的邻域。

度量空间

度量空间(M,d)的子集U是开集，如果给定任何U中的点x，存在一个实数ε > 0使得，如果给定任何M中的点y，有d(x,y) < ε，则y也属于U。（等价的说，U是开集，如果所有U中的点有包含在U中的邻域。）

这推广了欧几里得空间的例子，因为带有欧几里得距离的欧几里得空间也是度量空间。

拓扑空间

在拓扑空间中，开集是基础性的概念。你可以從任意集合X出發，再選取X的某個特定的子集族T，使T中的集合都满足作為開集應有的每一性质。这樣的子集族T被叫做X上的“拓扑”，而这个集合族的成员被叫做拓扑空间 (X,T)的开集。注意开集的无限交集不必為开集。若一個集合可以被构造为可数多个开集的交集，則稱其为G_δ集合。

开集的拓扑定义推广了度量空间定义：如果你從一个度量空间出發并如上述般定义开集，则所有开集的集合族将形成在这个度量空间上的拓扑。因此自然地，任何度量空间都是拓扑空间。（但有不是度量空间的拓扑空间。）

性质

1. 空集是開集（注意空集也是閉集）。
2. 定义拓扑的集合X既开又闭。
3. 任意个开集的并集是开集。
4. 有限个开集的交集是开集。

例子

• 度量空间$(X,d)$中，以点$x\in X$为中心，$\varepsilon$为半径的球体$B(x,\varepsilon)$为开集，任意的开集$A$包含以$x\in A$为中心，充分小的$\varepsilon$为半径的球体$B(x,\varepsilon)$。
• 流形中的开集为子流形。

用处

开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此類概念，比如度量空间和一致空间）時，都會用到开集的概念。

拓扑空间X的每個子集A都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间X和Y，从X到Y的函数f是连续的，如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射，如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。

实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

相关条目

• 拓扑空间
• 度量空间
• 闭集
• 闭开集