开集

在數學上，特別是拓樸學中，開集是一個將實數上的開區間的概念進行抽象化後的一個抽象物件。一個簡單的例子便是在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，可如此定義：子集 $X$ 是開集，意思是對於其中任意一點，必有以該點為球心的某個「開球」，仍是 $X$ 的子集，此處開球收集了在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，且與球心在一個固定的距離內的全體元素。（或者是說，一個集合是開集，如果這個集合沒有包含著它的邊界點)。然而，一般來說，一個開集也可以很抽象：一串集合列也能被稱作是開集，只要這串集合列滿足以下性質：(1) 任意數量的集合的聯集還是在這個集合列中。(2) 有限數量的集合的交集還是在這個集合列中。(3) 所有集合所在的空間跟空集都要在這個集合列之中。上述的這些條件看起來非常寬鬆，以至於我們有很好的靈活性去選取開集。

在基礎的微積分課程中，通常教科書介紹關於數列的極限時，會借助歐式空間上的距離去描述一個收斂的數列跟點的靠近程度去判斷該點是不是該數列的極限點，不嚴格的講，當數列的項跟點要多靠近有多靠近的時候，就說該點是一個極限點，但是這之中的一個關鍵是空間上的距離，若要推廣至沒有定義距離的空間，欲建立極限的概念，就要用到開集的概念，來提供一個基礎的方式去描述點與點之間的「靠近程度」而不需要仰賴於距離的定義。

一旦我們找定好了開集，我們便可以開始應用開集去定義關於連續，連通還有緊緻等性質的概念了。

满足

x^{2}+y^{2}=r^{2}

的点

(x,y)

着蓝色。满足

x^{2}+y^{2}<r^{2}

的点

(x,y)

着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定義[编辑]

可以按不同的一般性程度來形式化開集的概念。

歐式空間[编辑]

對於一個 $n$ 維歐式空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集 $U$ ，如果我們给定任何在 $U$ 中的一個點 $x$ ，存在一个實數 $\epsilon >0$ 使得，對任何在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的點 $y$ ， $y$ 跟 $x$ 的歐式距離,也就是你心中所想的那個距離, 小於 $r$ , 會意含著 $y$ 也屬於在 $U$ 之中的話，那麼我們說子集 $U$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的一個開集。可以等價地說: 如果所有在 $U$ 中的點有包含在 $U$ 中的邻域，則 $U$ 是开集。

賦距空间[编辑]

在賦距空间 $(M,d)$ 之中, $(M,d)$ 的子集 $U$ 是一個開集，如果给定任何 $U$ 中的點 $x$ ，存在一个实数 $\epsilon >0$ 使得，如果给定任何 $M$ 中的點 $y$ ，會有 $d(x,y)<\epsilon$ ，则 $y$ 也屬於 $U$ 。

等价的说:如果所有 $U$ 中的点有包含在 $U$ 中的邻域， $U$ 是开集。

這延展了歐式空間的例子，因為帶著有歐式距離的歐式空間也是一個賦距空間。

拓撲空間[编辑]

在拓扑空间中，開集是一項基礎性的概念。我們將從任意集合 $X$ 出發，再選取 $X$ 的某個特定的子集族 $\tau$ ，使 $\tau$ 中的集合都满足作為開集應有的每一性质。这樣的子集族 $\tau$ 被叫做 $X$ 上的“拓樸”，而这个集合族的成员被叫做拓扑空间 $(X,T)$ 的开集。

更精確地說:給定集合 $X$ ，給予一個集合串 $\tau$ 里面的每一個元素都是 $X$ 中的子集。這個集合串 $\tau$ 裡面的元素可以被稱為開集當他們滿足以下性質:

$X\in \tau$ 而且 $\varnothing \in \tau \qquad \qquad \qquad$ ( $X$ 以及 $\varnothing$ 都是開集)
$\left\{U_{i}:i\in I\right\}\subseteq \tau$ 然後有 $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau \qquad$ (開集的任意聯集都是開集)
$U_{1},\ldots U_{n}\in \tau$ 然後有 $U_{1},\ldots U_{n}\in \tau$ (開集的任意有限交集都是開集)

开集的拓扑定义推广了度量空间定义：如果你從一个度量空间出發并如上述般定义开集，则所有开集的集合族将形成在这个度量空间上的拓扑。因此自然地，任何度量空间都是拓扑空间。（但有不是度量空间的拓扑空间。）

性质[编辑]

空集是開集（注意空集也是閉集）。
定义拓扑的集合X既开又闭。
任意个开集的并集是开集。^{[註 1]}
有限个开集的交集是开集。^{[註 2]}

例子[编辑]

度量空间 $(X,d)$ 中，以点 $x\in X$ 为中心， $\varepsilon$ 为半径的球体 $B(x,\varepsilon )$ 为开集，任意的开集 $A$ 包含以 $x\in A$ 为中心，充分小的 $\varepsilon$ 为半径的球体 $B(x,\varepsilon )$ 。
流形中的开集为子流形。

用处[编辑]

开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此類概念，比如度量空间和一致空间）時，都會用到开集的概念。

拓扑空间X的每個子集A都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间X和Y，从X到Y的函数f是连续的，如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射，如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。

实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

注释[编辑]

^ 开集等价于每个点都有一个邻域包含在该集合内。因此任意个开集的并集仍然保持上述性质。
^ 直观上，开集是不包含其边界的集合。而无限多开集的交集有可能收敛到包含边界的闭集。例如，三维欧式空间上以原点为中心的开球，半径为1.1、1.01、1.001、...，其交集为半径为1.0的闭球。

[1] 开集等价于每个点都有一个邻域包含在该集合内。因此任意个开集的并集仍然保持上述性质。

[2] 直观上，开集是不包含其边界的集合。而无限多开集的交集有可能收敛到包含边界的闭集。例如，三维欧式空间上以原点为中心的开球，半径为1.1、1.01、1.001、...，其交集为半径为1.0的闭球。

[註 1]

[註 2]

开集

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