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一致连续

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一致连续性描述定义在一定度量空间上的函数的性质。与连续性刻画函数在局部的性质不同,一致连续刻画的是函数的整体性质。一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续,则其在此度量空间上必然连续,但反之未必成立。直观上,一致连续可以理解为,当自变量x在足够小的范围内变动时,函数值y的变动也会被限制在足够小的范围内。

ε-δ定义[编辑]

是两个度量空间并且,则一个函数 一致连续当且仅当对任意的,存在,使得任意的只要,就有

都是实数集的子集,欧几里得度量所定义的距离时,一致连续的定义可表述为:如果对任意的,存在,使得对任意的,都有,则上一致连续。

连续与一致连续[编辑]

定理

一个从紧致度量空间度量空间的连续函数是一致连续的。

证明

设函数为紧致度量空间,为度量空间。

假设不是一致连续的,则对于任意,对于任意n都存在满足条件并且

因为为紧致度量空间,是序列紧致的,所以存在一个的收敛子序列,设其收敛到

,所以

因为连续,,矛盾,定理得证。

一致连续相比于连续是一个更强的结论。一般情况下,连续不意味着一致连续。

相关条目[编辑]