在數學中,特別是實分析,利普希茨連續(Lipschitz continuity)以德國數學家魯道夫·利普希茨命名,是一個比一致連續更強的光滑性條件。直覺上,利普希茨連續函數限制了函數改變的速度,符合利普希茨條件的函數的斜率,必小於一個稱為利普希茨常數的實數(該常數依函數而定)。
在微分方程,利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續,稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。
利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上;利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續。
对于利普希茨连续函数,存在一个双圆锥(白色)其顶点可以沿着曲线平移,使得曲线总是完全在这两个圆锥外。
對於在實數集的子集的函數
,若存在常數
,使得
,則稱
符合利普希茨條件,對於
最小的常數
稱為
的利普希茨常數。
若
,
稱為收縮映射。
利普希茨條件也可對任意度量空間的函數定義:
給定兩個度量空間
,
。若對於函數
,存在常數
使得
![{\displaystyle d_{N}(f(a),f(b))\leq Kd_{M}(a,b)\quad \forall a,b\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bebadabfc9e04dcfa7883ff896a62a9a2d89940)
則說它符合利普希茨條件。
若存在
使得
![{\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{M}(a,b)\leq d_{N}(f(a),f(b))\leq Kd_{M}(a,b)\quad \forall a,b\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de656735101b582b02999bc4035c4366db0ed1b)
則稱
為双李普希茨(bi-Lipschitz)的。
若已知
有界,
符合利普希茨條件,則微分方程初值問題
剛好有一個解。
在應用上,
通常屬於一有界閉區間(如
)。於是
必有界,故
有唯一解。
符合利普希茨條件,
。
不符合利普希茨條件,當
。
- 定義在所有實數值的
符合利普希茨條件,
。
符合利普希茨條件,
。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。
不符合利普希茨條件,
。不過,它符合赫爾德條件。
- 若且唯若處處可微函數f的一次導函數有界,
符合利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有
函數都是局部利普希茨的,因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。
- 符合利普希茨條件的函數連續,实际上一致連續。
- 双李普希茨(bi-Lipschitz)函數是單射。
- Rademacher定理:若
且
為開集,
符利普希茨條件,則
幾乎處處可微。[1]
- Kirszbraun定理:給定兩個希爾伯特空間
,
,
符合利普希茨條件,則存在符合利普希茨條件的
,使得
的利普希茨常數和
的相同,且
。[2][3]
- ^ Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis (页面存档备份,存于互联网档案馆), Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. (第18頁以後)
- ^ M. D. Kirszbraun. Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen. Fund. Math., (22):77–108, 1934.
- ^ J.T. Schwartz. Nonlinear functional analysis. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1969.