利普希茨連續

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數學中,特別是實分析利普希茨連續Lipschitz continuity)以德國數學家魯道夫·利普希茨命名,是一個比通常連續更強的光滑性條件。直覺上,利普希茨連續函數限制了函數改變的速度,符合利普希茨條件的函數的斜率,必小於一個稱為利普希茨常數的實數(該常數依函數而定)。

微分方程,利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續,稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理

利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上;利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續

定義[编辑]

对于利普希茨连续函数,存在一个双圆锥(白色)其顶点可以沿着曲线平移,使得曲线总是完全在这两个圆锥外。

對於在實數集的子集的函數f \colon D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,若存在常數K,使得|f(a)-f(b)| \le K|a-b| \quad \forall a,b \in D,則稱f 符合利普希茨條件,對於f 最小的常數K 稱為 f利普希茨常數

K < 1f 稱為收縮映射

利普希茨條件也可對任意度量空間的函數定義:

給定兩個度量空間(M, d_M), (N, d_N)U \subseteq M。若對於函數f : U \to N,存在常數K 使得

 d_N(f(a), f(b)) \le K d_M(a,b) \quad  \forall a,b \in U

則說它符合利普希茨條件。

若存在K \ge 1使得

\frac{1}{K} d_M(a,b) \le d_N(f(a), f(b)) \le K d_M(a, b) \quad \forall a,b \in U

則稱f双李普希茨(bi-Lipschitz)的。

皮卡-林德洛夫定理[编辑]

若已知y(t)有界,f符合利普希茨條件,則微分方程初值問題y'(t) = f(t,y(t)),\quad y(t_0)=y_0剛好有一個解。

在應用上,t通常屬於一有界閉區間(如[0,2 \pi])。於是y(t)必有界,故y有唯一解。

例子[编辑]

  • f:[-3,7] \to \mathbb{R},\quad f(x)=x^2符合利普希茨條件,K=14
  • f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\quad f(x)=x^2不符合利普希茨條件,當x \to \infty , \quad f'(x) \to \infty
  • 定義在所有實數值的f(x)=\sqrt{x^2+5}符合利普希茨條件,K=1
  • f(x)=|x|符合利普希茨條件,K=1。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。
  • f: [0,1] \to [0,1], \quad f(x)=\sqrt{x}不符合利普希茨條件,x \to 0, \quad f'(x) \to \infty。不過,它符合赫爾德條件
  • 若且唯若處處可微函數f的一次導函數有界,f符利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有C^1函數都是局部利普希茨的,因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。

性質[编辑]

  • 符合利普希茨條件的函數一致連續,也連續
  • bi-Lipschitz函數是單射的。
  • Rademacher定理:若A \subseteq \mathbb{R}^nA為開集,f : A'' \to \mathbb{R}^n符利普希茨條件,則f幾乎處處可微。[1]
  • Kirszbraun定理:給定兩個希爾伯特空間H_1,H_2U \in H_1f: U \to H_1符合利普希茨條件,則存在符合利普希茨條件的F: H_1 \to H_2,使得F的利普希茨常數和f的相同,且F(x)=f(x) \quad \forall x \in U[2][3]

參考[编辑]

  1. ^ Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis, Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. (第18頁以後)
  2. ^ M. D. Kirszbraun. Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen. Fund. Math., (22):77–108, 1934.
  3. ^ J.T. Schwartz. Nonlinear functional analysis. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1969.