利普希茨連續

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數學中,特別是實分析利普希茨連續Lipschitz continuity)以德國數學家魯道夫·利普希茨命名,是一個比通常連續更強的光滑性條件。直覺上,利普希茨連續函數限制了函數改變的速度,符合利普希茨條件的函數的斜率,必小於一個稱為利普希茨常數的實數(該常數依函數而定)。

微分方程,利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續,稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理

利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上;利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續

定義[编辑]

对于利普希茨连续函数,存在一个双圆锥(白色)其顶点可以沿着曲线平移,使得曲线总是完全在这两个圆锥外。

對於在實數集的子集的函數 ,若存在常數,使得,則稱 符合利普希茨條件,對於 最小的常數 稱為 利普希茨常數

稱為收縮映射

利普希茨條件也可對任意度量空間的函數定義:

給定兩個度量空間。若對於函數,存在常數 使得

則說它符合利普希茨條件。

若存在使得

則稱双李普希茨(bi-Lipschitz)的。

皮卡-林德洛夫定理[编辑]

若已知有界,符合利普希茨條件,則微分方程初值問題剛好有一個解。

在應用上,通常屬於一有界閉區間(如)。於是必有界,故有唯一解。

例子[编辑]

  • 符合利普希茨條件,
  • 不符合利普希茨條件,當
  • 定義在所有實數值的符合利普希茨條件,
  • 符合利普希茨條件,。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。
  • 不符合利普希茨條件,。不過,它符合赫爾德條件
  • 若且唯若處處可微函數f的一次導函數有界,f符利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有函數都是局部利普希茨的,因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。

性質[编辑]

  • 符合利普希茨條件的函數一致連續,也連續
  • bi-Lipschitz函數是單射的。
  • Rademacher定理:若為開集,符利普希茨條件,則f幾乎處處可微。[1]
  • Kirszbraun定理:給定兩個希爾伯特空間符合利普希茨條件,則存在符合利普希茨條件的,使得的利普希茨常數和的相同,且[2][3]

參考[编辑]

  1. ^ Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis, Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. (第18頁以後)
  2. ^ M. D. Kirszbraun. Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen. Fund. Math., (22):77–108, 1934.
  3. ^ J.T. Schwartz. Nonlinear functional analysis. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1969.