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一致连续

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一致连续又称均匀连续,(英语:uniformly continuous),为数学分析的专有名词,大致来讲是描述对于函数 f 我们只要在定义域中让任意两点 xy 越来越接近,我们就可以让 f(x) 跟 f(y) 无限靠近,这跟一般的连续函数不同之处在于:f(x) 跟 f(y) 之间的距离并不依赖 xy 的位置选择。 一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续,则其在此度量空间上必然连续,但反之未必成立。

正式的 ε-δ 定义[编辑]

皆是度量空间,我们说函数 一致连续,这代表对任意的 ,存在 ,使得定义域中任意两点 只要 ,就有

都是实数的子集合, 为绝对值 时,一致连续的定义可表述为:如果对任意的 ,存在 ,使得对任意两点 ,都有 ,则称函数 上一致连续。

一致连续跟在每点连续最大的不同在于:在一致连续定义中,正数 的选择只依赖 这变量,而不依赖定义域上点的位置。

连续与一致连续[编辑]

定理

一个从紧致度量空间度量空间的连续函数是一致连续的。

证明

设函数为紧致度量空间,为度量空间。

假设不是一致连续的,则存在一个,对于任意n都存在满足条件并且

因为为紧致度量空间,是序列紧致的,所以存在一个的收敛子序列,设其收敛到

,所以

因为连续,,矛盾,定理得证。

一致连续相比于连续是一个更强的结论。一般情况下,连续不意味着一致连续。

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