分离公理

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索
Illustrations of the properties of Hausdorffness, regularity and normality
某些分離公理的圖示。藍色區塊代表一個開集,紅色方塊代表一個閉集,且黑色圓圈則代表一點。

拓扑学及相关的数学领域裡,通常对于所讨论的拓扑空间加有各种各样的限制条件,分离公理即是指之中的某些限制條件。这些分离公理有时候被叫做吉洪诺夫分离公理,得名于安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪諾夫。部分分離公理以字母T開頭,是由德文单词“Trennung”而來,意義是分离

分離公理之所以稱為公理,是因為以前定義拓撲空間時,有些人會將其也做為公理來定義,而得出較現在意思狹義的拓撲空間。但在拓撲空間的公理化完成後,那些都成了「各種」的拓撲空間。然而,「分離公理」這一詞就這樣固定了下來。

初步定义[编辑]

在定义分离公理之前,讓我们先了解在拓扑空间中,可分离的集合(和点)的具体含意。(須注意的是,可分离的集合不一定等同于下一節所定义的「分离空间」。)

分離公理是利用拓撲的方法來分辦不相交的集合及相區別的點。不只要拓撲空間內的元素是相區別的,更要這些元素是「拓撲可區別的」;不只要拓撲空間內的子集是不相交的,更要這些子集是(以某种方式)「可分離的」。分離公理聲稱,無論如何,若點或集合在某些較弱意思下是可區別的或可分離的,也必須在某些較強的意思下是可區別或可分離的。

為一拓扑空间,是实数集,定义:

拓扑可区分
称为拓扑可区分的,当且仅当邻域系不相等(即,存在某个的邻域,不是的邻域,或反之)。
可分离
稱為可分離的,当且仅当都为空。(闭包)。注意:可以不为空。
邻域可分离
称为邻域可分离的,当且仅当存在的邻域的邻域,使得为空。
闭邻域可分离
称为闭邻域可分离的,当且仅当存在的闭邻域的闭邻域,使得为空。
函数可分离
称为函数可分离的,当且仅当存在连续函数,使得
函数完全分离
称为函数完全分离的,当且仅当存在连续函数,使得

对于中的点(或点和子集),称它们为拓扑可分,可分离,邻域可分离等等,当且仅当单元素集合(或和子集)是拓扑可分,可分离,邻域可分离等等。

以上这些条件是按强度依序给出的:任何两个拓扑可区分的点也必然是相區分的,任何两个分离的点也必然是拓扑可区分的。更進一步地說,任何两个可分离的集合也必然是不相交的,任何两个领域上可分离的集合也必然是可分离的,以此类推。

上述条件更詳細的敘述(包括分离公理外的用途),请参见分离集合拓扑不可区分性等條目。

主要定义[编辑]

下面的定義都會直接使用到上面的初步定義。

大部份的分離公理都會有另一個等價的定義。下面所給出的定義會維持一致的模式,以和上一節所定義的許多分離的概念相連結。其他等價的定義則分別寫在個別的條目之中。

在下面所有的定義之中,X是一個拓撲空間,所有的函數都假設為連續的。

  • X稱為R0空间或「对称空间」,若在X內,任意两个拓扑可区分的点都是可分离的。
  • X稱為T1空间、「可及空間」或「弗雷歇空間」,若在X內,任意兩個相區別的點都是可分離的。X為T1空間,若且唯若X同時為T0及R0空間。
  • X稱為R1空间或「预正则空间」,若在X內,任意两个拓扑可区分的点都是邻域上可分离的。R1空间必然也是R0空间。
  • X稱為T2空间或「豪斯多夫空间」,若在X內,任意兩個相區別的點都是鄰域上可分離的。X為豪斯多夫空間,若且唯若X同時為T0及R1空間。豪斯多夫空間必然也是T1空間。
  • X稱為T空間或「烏雷松空間」,若在X內,任意兩個相區別的點都是閉鄰域上可分離的。T空間必然也是豪斯多夫空間。
  • X稱為完全豪斯多夫空間或「完全T2空間」,若在X內,任意兩個相區別的點都是函數上可分離的。完全豪斯多夫空間必然也是T空間。
  • X稱為正則空間,若在X內,給定一點x及一閉集F,則若x不屬於FxF即為鄰域上可分離的(實際上,在一個正則空間裡,xF也同樣會是閉鄰域上可分離的)。正則空間必然也是R1空間。
  • X稱為正則豪斯多夫空間或「T3空間」,若X同時為T0及正則空間。正則豪斯多夫空間必然也是T空間。
  • X稱為完全正則空間,若在X內,給定一點x及一閉集F,則若x不屬於FxF即為函數上可分離的。完全正則空間必然也是正則空間。
  • X稱為吉洪諾夫空間、「T空間」、「完全T3空間」或「完全正則豪斯多夫空間」,若X同時為T0及完全正則空間。吉洪諾夫空間必然同時也是正則豪斯多夫空間及完全豪斯多夫空間。
  • X稱為正規空間,若在X內,任意兩個相區別的閉子集都是鄰域上可分離的(實際上,在正規空間裡,任意兩個相區別的閉子集也同樣會是函數上可分離的;這稱為烏雷松引理)。
  • X稱為正規豪斯多夫空間或「T4空間」,若X同時為T1及正規空間。正規豪斯多夫空間必然同時也是吉洪諾夫空間及正規正則空間。
  • X稱為完全正規空間,若在X內,任意兩個相區別的子集都是鄰域上可分離的。完全正規空間必然也是正規空間。
  • X稱為完全正規豪斯多夫空間、「T5空間」或「完全T4空間」,若X同時為完全正規及T1空間。完全正規豪斯多夫空間必然也是正規豪斯多夫空間。
  • X稱為完美正規空間,若在X內,任意兩個相區別的閉子集都是函數上完全分離的。完美正規空間必然也是完全正規空間。
  • X稱為完美正規豪斯多夫空間、「T6空間」或「完美T4空間」,若X同時為完美正規及T1空間。完美正規豪斯多夫空間必然也是完全正規豪斯多夫空間。

各空間之間的關係[编辑]

T0空間很特別,因為它不只可以當做一個性質加在其他空間上(如完全正則空間加上T0即為吉洪諾夫空間),也可以由某個空間中刪去此一性質(如豪斯多夫空間刪去T0即為R1空間);更多資訊請見柯爾莫果洛夫商空間。當其應用在分離公理時,便會導致如下表所列的關係:

T0版本 無T0版本
T0
T1 R0
豪斯多夫(T2) R1
T 無給定名稱
完全豪斯多夫 無給定名稱
正則豪斯多夫(T3) 正則
吉洪諾夫(T) 完全正則
正規T0 正規
正規豪斯多夫(T4) 正規正則
完全正規T0 完全正規
完全正規豪斯多夫(T5) 完全正規正則
完美正規T0 完美正規
完美正規豪斯多夫(T6) 完美正規正則

在表中,利用柯爾莫果洛夫商空間運算,右邊的空間加上T0即為左邊的空間,左邊的空間刪去T0即為右邊的空間。

除了T0的加上及刪去之外,各空間之間的關係則可由下圖指明出來:

Hasse diagram of the separation axioms.

在圖中,無T0版本的空間在斜線的左邊,T0版本的空間則在斜線的右邊。之中的字母代表的意思: P為完美(perfectly)、C為完全(completely)、N為正規(normal)、R為正則(regular)。 黑點代表該空間沒有給定名稱。

結合兩個空間的性質最後會產生的空間可由上圖得知,只要看兩點向上的分支會交會在哪一點即可。例如,若有一個空間同時為完全正規(CN)及完全豪斯多夫(CT2)空間,則查看兩點向上的分支,會發覺為「•/T5」。因為完全豪斯多夫空間為斜邊的T0端(即使完全正規空間不是),最後得到的空間便會在斜邊的T0端。亦即,完全正規完全豪斯多夫空間即為T5空間。

再看一次上圖,正規空間及R0空間結合在一起,由於會經過許多右側的分支,也意指會產生許多兩個空間所沒有的其他性質。因為正則性是之中最為人知的性質,結合正規空間及R0空間而成的空間一般稱為「正規正則空間」。基於類似的想法,正規T1空間通常稱為「正規豪斯多夫空間」。上述的慣用名稱可以延伸至其他正則空間與豪斯多夫空間之上。

参考文献[编辑]

  • Michael C. Gemignani; Elementary Topology; ISBN 0486665224
  • Schechter, Eric; 1997; Handbook of Analysis and its Foundations; Publisher: Academic Press; http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/
    • 包含 Ri 公理(及其他)
  • Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).
    • 包含本條目除 Ri 以外之公理和定義
  • There are several other good books on general topology, but beware that some use slightly different definitions.