拓扑不可区分性

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

拓扑学中,拓扑空间X內的两点若有完全相同的鄰域,便稱這兩個點為「拓扑不可区分的」。亦即,設xyX內的兩點,A為由所有包含x的鄰域所組成的集合,且B為由所有包含y的鄰域所組成的集合,則xy為「拓撲不可區分的」若且唯若A = B

直觀上來說,若X的拓撲無法分辦之中的兩點,即可稱這兩點為拓撲不可區分的。

X內的兩點不是拓撲不可區分的,則稱這兩點為「拓撲可區分的」。这表示存在只包含两点之中的其中一點的开集(或等价地说,存在只包含两点之中的其中一點的闭集),而这个开集則可以用来使两个点可以區分。T0空间是一個拓撲空間,其中任意兩個相區別的點都是拓扑可区分的。这是分离公理中最弱的一個限制條件。

拓扑不可区分性會在拓扑空间X上定义出一個等价关系。設xyX內的兩個点,若xy為拓撲不可區分的,便標記成xyx等價類則標記為[x]。

例子[编辑]

T0空间(特别是豪斯多夫空间)而言,拓扑不可区分的概念是沒有意義的,因此若要尋找有趣的例子,必须要在非T0空间中才行。另一方面,由於正则性正规性並不蕴涵T0,所以可以找到一些有這些性质的例子。事实上,下面给出的例子就几乎都是完全正则的。

  • 不可分空間中,任意两个点都是拓扑不可区分的。
  • 伪度量空间中,两点是拓扑不可区分的,当且仅当在兩點之间的距离為零。
  • 半赋範向量空间中,xy当且仅当‖xy‖ = 0。
    • 舉例來說,设L2(R)是一個拓撲空間,由所有从R映射至R的平方可积可測函數所組成(詳见Lp空间)。则在L2(R)內,函数fg為拓扑不可区分的,当且仅当兩個函數几乎处处相等。
  • 拓扑群中,xy,当且仅当x−1y ∈ cl{e},这里的cl{e}為当然子群闭包;而其等价类則為cl{e}的陪集(cl{e}总會是個正规子群)。
  • 一致空间推广了伪度量空间和拓扑群。在一致空间中,xy当且仅当有序对 (x, y)属于所有周围entourage)。所有周围的交集正是用X上拓扑不可区分性來定義的等价关系。
  • X有关于函数族初拓撲X中两个点xy是拓扑不可区分的,如果族不区分它们(就是说对所有)。
  • 给定集合X上的任何等价关系,存在X上的拓扑,它的拓扑不可区分概念一致于这个等价关系。你可以简单选取这个等价关系为这个拓扑的。这叫做X上的划分拓扑

特殊化预序[编辑]

在空间X上的拓扑不可区分性可以从在X上的叫做特殊化预序的自然预序来复原。对于X中的点xy这个预序定义为

xy 当且仅当x ∈ cl{y}

这里的cl{y}指示{y}的闭包。等价的说,xy如果x邻域系统,指示为Nx,被包含在y的邻域系统内:

xy当且仅当NxNy。容易看出在X上的这个关系是自反的和传递的,所以定义了预序。但是一般的说,这个预序不是反对称的。实际上,确定自≤的等价关系完全就是拓扑不可区分性的关系:
xy当且仅当xy并且yx

拓扑空间被称为对称(或R0的,如果特殊化预序是对称的(就是说xy蕴涵yx)。在这种情况下,关系≤和≡是同一的。拓扑不可区分性在这些空间中表现良好并易于理解。注意这类空间包括所有正则空间完全正则空间

性质[编辑]

等价条件[编辑]

有很多确定两个点是拓扑不可区分的等价方式。设X是拓扑空间并设xyX的点。把xy的闭包分别指示为cl{x}和cl{y},并把它们的邻域系统分别指示为NxNy。则下列陈述是等价的:

  • xy
  • 对于每个X中的开集U,要么U包含xy二者要么都不包含
  • Nx = Ny
  • x ∈ cl{y}并且y ∈ cl{x}
  • cl{x} = cl{y}
  • xNy并且yNx
  • Nx = Ny
  • x ∈ cl{y}并且xNy
  • x属于包含y的所有开集和所有闭集
  • 滤子会聚于x当且仅当它会聚于y

这些条件可以在X对称空间的情况下简化。对于这些空间(特别是正则空间),下列陈述是等价的:

  • xy
  • 对于每个开集U,如果xUyU
  • NxNy
  • x ∈ cl{y}
  • xNy
  • x属于包含y的所有闭集
  • x属于包含y的所有开集
  • 所有会聚于x的网或滤子会聚于y

等价类[编辑]

要讨论x等价类,為了方便,首先定义x上闭集合和下闭集合。它们都是关于上述特殊化预序而定义的。

x的下部集合就是{x}的闭包:

,而x上部集合是在x邻域系统交集

x的等价类接着给出为交集

因为↓x是包含x的所有闭集的交集而↑x是包含x的所有开集的交集,等价类[x]是包含x的所有开集和闭集的交集。

cl{x}和Nx二者都包含等价类[x]。一般的说,两个集合都会包含额外的点。但是在对称空间中(特别是在正则空间中),这三个集合是一致的:

。一般的说,等价类[x]会是闭集,当且仅当这个空间是对称的。

连续函数[编辑]

f : XY连续函数。则对于任何X中的xy

xy蕴涵f(x) ≡ f(y)。逆命题一般为假(T0空间有是平凡)。逆命题在X有引发自f初拓扑的条件下为真。更一般的说,如果X有引发自映射族的初拓扑则
xy当且仅当fα(x) ≡ fα(y)对于所有α。可得出在乘积空间中两个元素是拓扑不可区分的,当且仅当每个它们的分量都是拓扑不可区分的。

柯尔莫果洛夫商空间[编辑]

因为拓扑不可分别性是在任何拓扑空间X上的等价关系,我们可以形成商空间KX = X/≡。空间KX被叫做柯爾莫哥洛夫商空間X的T0同一。事实上,空间KX是T0(就是说所有点都是拓扑可区分的)。此外,通过商映射的特征性质,任何从X到T0空间的连续映射f : XY通过商映射q : XKX而因子化。

尽管商映射q一般不是同胚(因为它一般不是单射),它确实引发在X的拓扑和KX的拓扑之间的双射。直觉上说,柯尔莫果洛夫商不改变一个空间的拓扑。它只將点集精簡化,直到点都成为拓扑可区分的。

参见[编辑]