幾乎處處

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測度論數學分析的一個分支)裡,若說一個性質為幾乎處處成立,即表示不符合此性質的元素組成的集合為一零測集,即其測度等於零的集合。當使用在實數的性質上時,若沒有另外提起則假定為勒貝格測度。幾乎處處(英语:almost everywhere)可以被縮寫為「a. e.」;而一些文獻也有「p. p.」之類的縮寫,其源於同義的法語片語「presque partout」。

一個有全測度的集合是一個其補集為零測度的集合。

除了說一個性質幾乎處處成立之外,偶爾亦可以說一個性質是對幾乎所有元素成立的,即使幾乎所有這一詞有著其他的意義。

下面是包含有「幾乎處處」這一詞的一些定理:

  •  : 為一勒貝格可積函數且幾乎處處大於零,則
  •  : 為一單調函數,則幾乎處處可微
  •  : 為勒貝格可積且對所有實數
則存在一零集E(根據)使得若不在內,其勒貝格平均
便會收斂至,當ε趨向至零時。換句話說,的勒貝格平均幾乎處處收斂至。集合E則稱為的勒貝格集合,且可以證明為零測度的。
  • 上為博雷尔可測的,則對幾乎所有,函數為博雷尔可測的。
  • 一有界函數 : ->黎曼可積的,若且唯若其為幾乎處處連續的。

在實分析之外,「幾乎處處」一詞可以用極大濾子定義。例如在超實數的建構中,一個超實數被定義為相對於某一濾子幾乎處處相等的等價類。

抽象代數及其相關領域中,「幾乎處處」通常指某性質只對給定集合中的有限個元素不成立。

概率论裡,這一詞變成了「幾乎必然」,「幾乎確定」或「幾乎總是」,相對於一為1的概率

參考[编辑]

  • Billingsley, Patrick. Probability and measure 3rd edition. New York: John Wiley & sons. 1995. ISBN 978-0-471-00710-4.