跳转到内容

初拓扑

维基百科,自由的百科全书

一般拓扑学与数学的相关领域中,给定集合上的一族函数,其初拓扑(initial topology)是使得这一族函数连续最粗糙拓扑。

子空間拓撲積拓撲都是初拓扑的特例。事实上,初拓扑可以看作是这两种结构的推广。

与初拓扑对偶的结构稱為终拓扑

定义

[编辑]

定義 — 集合,設有一集合族 與其指標集

還有一族與之相對應的拓扑

和一函数

上關於 初拓扑 ,定義為「對所有 - 连续」的最粗糙拓扑。

定理 —  是上述定義所說, 上關於 的初拓扑,取:

拓撲基,且 就是由 所生成的拓扑。

證明
因為:

所以:

另外對於任意,和任意 有:

這樣,因為 ,所以:

根據以上所述, 的確是 的拓撲基。

另外,對任意 上的拓撲 來說,「對所有 - 连续」等價於:

「對所有 ,和所有

也就等價於:

這樣根據拓撲基的性質(1) 就是 所生成的拓撲,至此本定理得證。

上述拓扑基 裡的元素通常被稱為圓柱集合英语Cylinder setcylinder set)。

实例

[编辑]

性质

[编辑]

特征性质

[编辑]

给出任意拓扑空间,X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立:
的映射是连续的,当且仅当 是连续的。

Evaluation

[编辑]

从闭集分离点

[编辑]

从闭集分离点,如果中任意闭集,与任意不属于的点,使得

这里的cl闭包算子

关于初拓扑有如下定理:
一族连续映射从闭集分离点,当且仅当the cylinder sets构成集合的一个基。

从这个定理可以得到,如果上有一族连续映射从闭集分离点,那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的,因为初拓扑是由为子基生成的拓扑,在这个定理中要求the cylinder sets是集合的一个基。

参考资料

[编辑]