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初拓扑

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一般拓扑学与数学的相关领域中,给定集合上的一族函数,其初拓扑(initial topology)是使得这一族函数连续最粗糙拓扑。

子空间拓扑积拓扑都是初拓扑的特例。事实上,初拓扑可以看作是这两种结构的推广。

与初拓扑对偶的结构称为终拓扑

定义

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定义 — 集合,设有一集合族 与其指标集

还有一族与之相对应的拓扑

和一函数

上关于 初拓扑 ,定义为“对所有 - 连续”的最粗糙拓扑。

定理 —  是上述定义所说, 上关于 的初拓扑,取:

拓扑基,且 就是由 所生成的拓扑。

证明
因为:

所以:

另外对于任意,和任意 有:

这样,因为 ,所以:

根据以上所述, 的确是 的拓扑基。

另外,对任意 上的拓扑 来说,“对所有 - 连续”等价于:

“对所有 ,和所有

也就等价于:

这样根据拓扑基的性质(1) 就是 所生成的拓扑,至此本定理得证。

上述拓扑基 里的元素通常被称为圆柱集合英语Cylinder setcylinder set)。

实例

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性质

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特征性质

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给出任意拓扑空间,X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立:
的映射是连续的,当且仅当 是连续的。

Evaluation

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从闭集分离点

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从闭集分离点,如果中任意闭集,与任意不属于的点,使得

这里的cl闭包算子

关于初拓扑有如下定理:
一族连续映射从闭集分离点,当且仅当the cylinder sets构成集合的一个基。

从这个定理可以得到,如果上有一族连续映射从闭集分离点,那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的,因为初拓扑是由为子基生成的拓扑,在这个定理中要求the cylinder sets是集合的一个基。

参考资料

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