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初拓撲

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一般拓撲學與數學的相關領域中,給定集合上的一族函數,其初拓撲(initial topology)是使得這一族函數連續最粗糙拓撲。

子空間拓撲積拓撲都是初拓撲的特例。事實上,初拓撲可以看作是這兩種結構的推廣。

與初拓撲對偶的結構稱為終拓撲

定義

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定義 — 集合,設有一集合族 與其指標集

還有一族與之相對應的拓撲

和一函數

上關於 初拓撲 ,定義為「對所有 - 連續」的最粗糙拓撲。

定理 —  是上述定義所說, 上關於 的初拓撲,取:

拓撲基,且 就是由 所生成的拓撲。

證明
因為:

所以:

另外對於任意,和任意 有:

這樣,因為 ,所以:

根據以上所述, 的確是 的拓撲基。

另外,對任意 上的拓撲 來說,「對所有 - 連續」等價於:

「對所有 ,和所有

也就等價於:

這樣根據拓撲基的性質(1) 就是 所生成的拓撲,至此本定理得證。

上述拓撲基 裡的元素通常被稱為圓柱集合英語Cylinder setcylinder set)。

實例

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性質

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特徵性質

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給出任意拓撲空間,X上的初拓撲依照上面所給的定義。則有以下性質成立:
的映射是連續的,當且僅當 是連續的。

Evaluation

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從閉集分離點

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從閉集分離點,如果中任意閉集,與任意不屬於的點,使得

這裡的cl閉包算子

關於初拓撲有如下定理:
一族連續映射從閉集分離點,當且僅當the cylinder sets構成集合的一個基。

從這個定理可以得到,如果上有一族連續映射從閉集分離點,那麼關於這族映射就存在一個初拓撲。反之是不成立的,因為初拓撲是由為子基生成的拓撲,在這個定理中要求the cylinder sets是集合的一個基。

參考資料

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