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均勻連續

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均勻連續又稱一致連續,(英語:uniformly continuous),為數學分析的專有名詞,大致來講是描述對於函數 我們只要在定義域中讓任意兩點 越來越接近,我們就可以讓 無限靠近,這跟一般的連續函數不同之處在於: 之間的距離並不依賴 的位置選擇。 均勻連續是比連續更苛刻的條件。一個函數在某度量空間上均勻連續,則其在此度量空間上必然連續,但反之未必成立。

正式的 ε-δ 定義

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皆是度量空間,我們說函數 均勻連續,這代表對任意的 ,存在 ,使得定義域中任意兩點 只要 ,就有

都是實數的子集合, 為絕對值 時,均勻連續的定義可表述為:如果對任意的 ,存在 ,使得對任意兩點 ,都有 ,則稱函數 上均勻連續。

均勻連續跟在每點連續最大的不同在於:在均勻連續定義中,正數 的選擇只依賴 這變量,而不依賴定義域上點的位置。

均勻連續性定理

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定理

一個從緊緻度量空間度量空間的連續函數是均勻連續的。

證明

設函數為緊緻度量空間,為度量空間。

假設不是均勻連續的,則存在一個,對於任意都存在滿足條件並且

因為為緊緻度量空間,是序列緊緻的,所以存在一個的收斂子序列,設其收斂到

,所以

因為連續,,矛盾,定理得證。

均勻連續相比於連續是一個更強的結論。一般情況下,連續不意味着均勻連續。

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