幂集公理

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数学中,幂集公理公理化集合论Zermelo-Fraenkel公理之一。

在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中,这个公理读做:

或简写为:

换句话说:

给定任何集合A有着一个集合使得,给定任何集合xx的成员,当且仅当xA的子集。

通过外延公理可知这个集合是唯一的。我们可以称集合A幂集。所以这个公理的本质是:

所有集合都有一个幂集。

幂集公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价命題出现在所有可替代的集合论的公理化中。

推论[编辑]

幂集公理允许定义两个集合笛卡儿积

笛卡儿积是个集合因为

你可以递归定义集合的任何有限搜集的笛卡儿积:

注意笛卡儿积的存在性在不包含幂集公理的Kripke-Platek集合论英语Kripke–Platek set theory中是可证明的。

引用[编辑]

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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注释[编辑]