# 补集

## 相对补集

${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$集合，则${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$中的相对补集是由所有属于${\displaystyle B}$但不属于${\displaystyle A}$的元素組成的集合。

${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$中的相对补集记为${\displaystyle B\setminus A}$${\displaystyle B-A}$

${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B\mid x\not \in A\}}$

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}}$
• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$实数集合，${\displaystyle \mathbb {Q} }$有理数集合，则${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$无理数集合。

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\varnothing }$
• ${\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing }$
• ${\displaystyle A\setminus \varnothing =A}$

## 绝对补集

${\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A}$

（注意：根据ISO与中华人民共和国国家标准${\displaystyle A}$中子集${\displaystyle B}$的补集记作${\displaystyle \complement _{A}B}$。）

• ${\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }}$
• ${\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }}$

• ${\displaystyle A\cup A^{\complement }=U}$
• ${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing }$
• ${\displaystyle \varnothing ^{\complement }=U}$
• ${\displaystyle U^{\complement }=\varnothing }$

• ${\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}$

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B}$