一致性 (邏輯)

邏輯上，一致理论（consistent theory）、相容理论、自洽理论，是指不蘊涵矛盾的理论。在大部分逻辑系统中，不一致理论总是蕴含所有命题，因此不大有用。

一致理论是语法上的概念；与此对应的语义上的概念是可满足（英语：Satisfiability）理论，即具有模型的理论。由可靠性定理和哥德尔完备性定理，一阶逻辑理论是一致的当且仅当它是可满足的。

能够编码皮亚诺算术的递归可枚举理论（如皮亚诺算术、策梅洛-弗兰克尔集合论）的一致性只能被不弱于它的某个理论证明；参见哥德尔不完备定理。

定义

设 ${\mathcal {L}}$ 是一个一阶语言。考虑所有一阶 ${\mathcal {L}}$ -语句（即无自由变元的 ${\mathcal {L}}$ -公式）构成的集合 $\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})$ 及其幂集 ${\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))$ 。一些 ${\mathcal {L}}$ -语句构成的集合 $T\in {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))$ 称为一个 ${\mathcal {L}}$ -理论（theory）。

一个 ${\mathcal {L}}$ -理论 $T\in {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))$ 称为一致理论，若有

T\not \vdash \bot .

其中 $\bot$ 是一个取定的假的一阶语句（例如 $\exists x(\lnot x=x)$ ），而 $\vdash$ 是一阶逻辑的演绎关系。

皮亚诺算术 ${\mathsf {PA}}$ 的语言 ${\mathcal {L}}_{\text{Peano}}$ 的非逻辑符号由一个常元 $0$ 及一个一元运算 $(-)^{+}$ 构成。

设 ${\mathcal {L}}$ 的符号构成自然数的递归集合（特别地，它只含可数个符号）。则 ${\mathcal {L}}$ -理论 $T\in {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))$ 是否是一致的可以用皮亚诺算术的语言来表示，记这一 ${\mathcal {L}}_{\text{Peano}}$ -语句为 $\operatorname {Con} (T)$ 。

相对一致性

设 $S$ 是一个 ${\mathcal {L}}_{\text{Peano}}$ 的理论，且为真。即有

\mathbb {N} \models S,

其中 $\mathbb {N}$ 是自然数的 ${\mathcal {L}}_{\text{Peano}}$ -结构。

那么，在 ${\mathcal {L}}$ -理论构成的集合 ${\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))$ 上可以定义一个预序如下：

T\lesssim _{S}T'\iff S\vdash (\operatorname {Con} (T')\implies \operatorname {Con} (T)).

这一预序称为（在 $S$ 下的）相对一致性预序（relative consistency preorder）。我们称（在 $S$ 下） $T$ 关于 $T'$ 是相对一致的（relatively consistent），若有 $T\lesssim _{S}T'$ 。^[1]^{: 163, Chapter 12}