恆真式

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語言學上、邏輯學上,都有tautology一詞。tautology在語言學、命題邏輯及述詞邏輯中,定義都略有不同。本文主要討論在命題邏輯及述詞邏輯中的定義。此單字結尾logy並非「邏輯(logic)」之意,就好像科技的英文單字technology的字尾logy也不是邏輯之意。但有些人喜歡把它音譯成套套邏輯。也有些學者意譯為恆真句恆真式重言式。本文tautology譯為恆真句。命題邏輯中的恆真句的定義是指在任何解釋下皆為真的命題,例如等等。在述詞邏輯中,亦有恆真句的定義(和方才定義稍有不同),另外也有邏輯真理(logical truth)的定義,兩者並不等價。在述詞邏輯中,是恆真句一定是邏輯真理,是邏輯真理不一定是恆真句。例如是邏輯真理,但不是恆真句。

命題邏輯的恆真式[编辑]

命題邏輯上,如某式為一連串命題變項的組合,將每個命題變項分別代入真、假,運算結果總是為真,則該式為一恆真式。

恆真式有無限多種,以下為常見例子:

  • A或非A):此即排中律,此式只有一個命題變項A,根據定義,無論將A代入「真」或代入「假」,運算結果都會是「真」
  • (若A蘊涵B則非B蘊涵非A,反之亦然):此即換質換位律
  • (若非A蘊涵B且非A蘊涵非B,則非A恆為假,則A恆為真):此即歸謬法的原理
  • (若非AB皆為真,則非A或非B為真,反之亦然):此即德摩根定律
  • (若A蘊涵BB蘊涵C,則A蘊涵C):此即三段論的原理
  • (若AB其中之一為真,且兩者皆蘊涵C,則C為真):此即枚舉法之原理

最簡恆真式是不能簡化為更短式子的恆真式。[來源請求]

  • 是恆真式,但不是最簡恆真式,因為它可進一步簡化成

恆真式的證明[编辑]

命題邏輯上證明恆真式的方式之一是代入真值表,對於有n個變項的式子,總共會有2n種組合。因此有時會非常複雜。

例如以下式子:

可將分別以真或假代入,然後根據規則算出各子式的真假值,最後算出整個式子真假值:

T T T T T T T T
T T F T F F F T
T F T F T T T T
T F F F T T T T
F T T F T T T T
F T F F T F T T
F F T F T T T T
F F F F T T T T

由於每一列的最後運算結果皆為「真」(T),故此式為恆真式。

另外一些方式是用語法方式如自然演繹法等從空集合中證明出恆真句。

恆真蘊涵[编辑]

如果所有讓為真的命題賦值情況下也都會為真,則稱 恆真蘊涵恆蘊涵,可記為,這相當於恆真式[1]

假設,而。此時不是恆真式,因為為假時為假;但,因為一切使為真的情況都會使為真,而一切使為真的情況都會使為真。

根據定義,如果為矛盾(恆假)命題,則恆蘊涵,因為沒有任何情況可使為真,而當為假時條件式總是為真。

自然語言的恆真式[编辑]

按照命題邏輯(語句邏輯)對恆真式的定義,一個自然語言語句是否為恆真句,須視自然語言翻譯為形式語言的方式而定。

  • 「人都有兩條腿」:翻譯成命題邏輯為,不是恆真句。
  • 「圓形都不是正方形」:翻譯成命題邏輯為,不是恆真句。
  • 「所有單身漢都是未婚的」:翻譯成命題邏輯為,不是恆真句。
  • 「小明在美國或小明不在美國」:翻譯成命題邏輯為,是恆真句。
  • 「所有人都是在美國或是都不在美國」:翻譯成命題邏輯為,不是恆真句。这一句话并不能翻译成。因为如果是“所有人都在美国”,那么则是“不是所有人都在美国”。因此“所有人都是在美国或者都不在美国”并不能翻译成
  • 「小明很受女孩子歡迎,因為他有女性緣」:如將「因為」理解為實質條件句,並將「有女性緣」理解為「很受女孩子歡迎」,可將「小明很受女孩子歡迎」和「小明有女性緣」理解為同一命題,翻譯成命題邏輯為,是恆真句;如不將兩者理解為同一件事,例如將「小明有女性緣」理解為「很多女性想與小明發生性關係」,則翻譯成命題邏輯為,不是恆真句。
  • 「單身漢都是男人,所以不是男人都不是單身漢」:如將「所以」理解為實質條件句,並將「單身漢都是男人」和「不是男人都不是單身漢」理解為同一命題,翻譯成命題邏輯為,是恆真句。

注釋[编辑]

  1. ^ Kleene 1967 p.27