递归

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德罗斯特效应是递归的一种视觉形式。图中女性手持的物体中有一幅她本人手持同一物体的小图片,进而小图片中还有更小的一幅她手持同一物体的图片,依此类推。

递归英语Recursion),又译为递回,在数学计算机科学中,是指在函数的定义中使用函数自身的方法。递归一词还较常用于描述以自相似方法重复事物的过程。例如,当两面镜子相互之间近似平行时,镜中嵌套的图像是以无限递归的形式出现的。也可以理解为自我复制的过程。

语言例子[编辑]

从前有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚,正在给小和尚讲故事呢!故事是什么呢?「从前有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚,正在给小和尚讲故事呢!故事是什么呢?『从前有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚,正在给小和尚讲故事呢!故事是什么呢?……』」

一只狗来到厨房,偷走一小块面包。厨子举起杓子,把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了,给那只狗掘了一个坟墓,还在墓碑上刻了墓志铭,让未来的狗可以看到:「一只狗来到厨房,偷走一小块面包。厨子举起杓子,把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了,给那只狗掘了一个坟墓,还在墓碑上刻了墓志铭,让未来的狗可以看到:『一只狗来到厨房,偷走一小块面包。厨子举起杓子,把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了,给那只狗掘了一个坟墓,还在墓碑上刻了墓志铭,让未来的狗可以看到……』」

電腦科學[编辑]

遞迴經常被用於解決電腦科學的問題。在一些程式語言(如Scheme中),遞迴是進行迴圈的一種方法。

举例: 编写一个程序使用递归求n的阶乘

import java.util.Scanner; public class Factorial{

   public static void main(String[] args){
       Scanner keyboard = new Scanner(System.in);
       int n = keyboard.nextInt();
       System.out.println(factorial(n));
   }
   public static int factorial(int n){
       if (n==1){
          return 1;
       } else {
          return n * factorial(n-1);
       }
   }

}

正式定义[编辑]

数学和计算机科学中,递归指由一种(或多种)简单的基本情况定义的一类对象或方法,并规定其他所有情况都能被还原为其基本情况。

例如,下列为某人祖先的递归定义:

  • 某人的双亲是他的祖先(基本情况)。
  • 某人祖先的双亲同样是某人的祖先(递归步骤)。

斐波那契数列是典型的递归案例:

  • F_0=0(初始值)
  • F_1=1(初始值)
  • 对所有大於1的整数n:F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(递归定义)

尽管有许多数学函数均可以递归表示,但在实际应用中,递归定义的高开销往往会让人望而却步。例如:

  • 0!=1(初始值)
  • 对所有大於0的整数n:n!=n\times(n-1)!(递归定义)

一种便于理解的心理模型,是认为递归定义对对象的定义是按照“先前定义的”同类对象来定义的。例如:你怎样才能移动100个箱子?答案:你首先移动一个箱子,并记下它移动到的位置,然后再去解决较小的问题:你怎样才能移动99个箱子?最终,你的问题将变为怎样移动一个箱子,而这是你已经知道该怎么做的。

如此的定义在数学中十分常见。例如,集合论对自然数的正式定义是:1是一个自然数,每个自然数都有一个后继,这一个后继也是自然数。

以下是另一个可能更有利于理解递归过程的解释:

  1. 我们已经完成了吗?如果完成了,返回结果。如果没有这样的终止条件,递归将会永远地继续下去。
  2. 如果没有,则简化问题,解决较容易的问题,并将结果组装成原始问题的解决办法。然后返回该解决办法。

这样就有一种更有趣的描述:“为了理解递归,则必须首先理解递归。”或者更准确地,按照安德鲁·普洛特金英语Andrew Plotkin的解释:“如果你已经知道了什么是递归,只需记住答案。否则,找一个比你更接近侯世达的人;然后让他/她来告诉你什么是递归。”[1]

数学中常见的以递归形式定义的案例参见函数、集合以及分形等。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

脚注[编辑]

  1. ^ 原文:“If you already know what recursion is, just remember the answer. Otherwise, find someone who is standing closer to Douglas Hofstadter than you are; then ask him or her what recursion is.”

书目[编辑]

  • Johnsonbaugh, Richard. Discrete Mathematics. Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-117686-2. 
  • Hofstadter, Douglas. Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid. Basic Books. 1999. ISBN 0-465-02656-7. 
  • Shoenfield, Joseph R. Recursion Theory. A K Peters Ltd. 2000. ISBN 1-56881-149-7. 
  • Causey, Robert L. Logic, Sets, and Recursion. Jones & Bartlett. 2001. ISBN 0-7637-1695-2. 
  • Cori, Rene; Lascar, Daniel; Pelletier, Donald H. Recursion Theory, Godel's Theorems, Set Theory, Model Theory. Oxford University Press. 2001. ISBN 0-19-850050-5. 
  • Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. Vicious Circles. Stanford Univ Center for the Study of Language and Information. 1996. ISBN 0-19-850050-5.  - offers a treatment of corecursion.
  • Rosen, Kenneth H. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill College. 2002. ISBN 0-07-293033-0. 
  • Cormen, Thomas H., Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein. Introduction to Algorithms. Mit Pr. 2001. ISBN 0-262-03293-7. 
  • Kernighan, B.; Ritchie, D. The C programming Language. Prentice Hall. 1988. ISBN 0-13-110362-8. 
  • Stokey, Nancy,; Robert Lucas; Edward Prescott. Recursive Methods in Economic Dynamics. Harvard University Press. 1989. ISBN 0674750969. 

外部链接[编辑]