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曼德博集合

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如果c点属于曼德博集合M则为黑色,反之为白色

曼德博集合(Mandelbrot set,或译為曼德布洛特复数集合)是一种在复平面上组成分形的点的集合,以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亚集合有些相似的地方,例如使用相同的复二次多项式來进行迭代

定义[编辑]

曼德博集合可以用复二次多项式来定义:

其中 是一个复数參数。

开始对 进行迭代

每次迭代的值依序如以下序列所示:

不同的参数 可能使序列绝对值逐漸發散到无限大,也可能收斂在有限的區域内。

曼德博集合 就是使序列不延伸至无限大的所有复数 集合

特性[编辑]

  • 自相似
  • 面积为1.5065918561[1][2]

相關的定理[编辑]

定理一[编辑]

,則

證明:[编辑]

假設 為真

第一步:[编辑]

因為

由以上可得知

第二步:[编辑]

假設 成立

由上式可得知

由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2,...), 皆比 小。

當n趨近無限大時 依然沒有發散,所以 ,故得證。


定理二[编辑]

,則

證明:[编辑]

假設

第一步:[编辑]

,左右同乘 再減去 可得到下式

由以上可得知

第二步:[编辑]

假設 成立,則

因為

,左右同乘 再減去 可得到下式

由以上可得知

由數學歸納法可得知 ,可看出隨著迭代次數增加 逐漸遞增並發散。

假如不发散,则收敛于某个常数,

再取极限得

,矛盾,故发散。


所以若 ,則 ,故得證。

定理三[编辑]

,則

證明:[编辑]

要證明若 ,則

首先分別探討 兩種情形

由定理二可知道 時,

接著要證明 時的情況:

假設 ,因為 ,所以 ,而

因為

,左右同乘 再減去 可得到下式

由以上可得知

由數學歸納法可得知 ,可看出隨著迭代次數增加 逐漸遞增並發散。

所以在 的情況下也是

綜合上述可得知不論 為多少

,則 ,故得證。

利用定理三可以在程式計算時快速地判斷 是否會發散。

计算的方法[编辑]

曼德博集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件,例如Ultra fractal,内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码,表达了曼德博集合的计算思路。

For Each c in Complex
 repeats = 0
 z = 0
 Do
  z = z^2 + c
  repeats = repeats + 1
 Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根据定理三,EscapeRadius可设置为2。
 If repeats > MaxRepeats Then
  Draw c,Black                                            '如果迭代次数超过MaxRepeats,就将c认定为属于曼德博集合,并设置为黑色。
 Else
  Draw c,color(z,c,repeats)                               'colo函数用来决定颜色。
 End If
Next

決定顏色的一些方法[编辑]

  1. 直接利用循环终止时的Repeats
  2. 综合利用z和Repeats
  3. Orbit Traps


Mathematica代码[编辑]

mand = Compile[{{z0, _Complex}, {nmax, _Integer}}, 
   Module[{z = z0, i = 1}, 
    While[i < nmax && Abs[z] <= 2, z = z^2 + z0; i++]; i]];
ArrayPlot[
 Reverse@Transpose@
   Table[mand[x + y I, 500], {x, -2, 2, 0.01}, {y, -2, 2, 0.01}]]

各種圖示[编辑]

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參考資料[编辑]