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吸引子

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吸引子(attractor)是微积分系统科学论中的一个概念。一个系统有朝某个稳态发展的趋势,这个稳态就叫做吸引子。吸引子分为平庸吸引子奇异吸引子

例如一个钟摆系统,它有一个平庸吸引子,这个吸引子使钟摆系统向停止晃动的稳态发展。

平庸吸引子有不动点(平衡)、极限环(周期运动)和整数维环面(概周期运动)三种模式。而不属于平庸的吸引子的都称为奇异吸引子,它表现了混沌系统中非周期性,无序的系统状态,例如天气系统。

对于吸引子,学术上并没有完善的定义,目前仅处于概念阶段。吸引子中的奇异吸引子对于混沌系统的研究意义重大。

定義[编辑]

代表時間、是用來確定動態系統狀態的函數。也就是說,如果相空間的一個點,代表系統的初始狀態,則且對每個正實數代表經過單位時間後的狀態。舉例來說,如果一系統描述一維上某不受力粒子的演進,此時相空間是平面,其坐標中的是粒子的位置是粒子的速度。那麼就有

吸子相空間中的子集,並有以下幾個特徵:

  • 下不隨時間變化,從而如果就有對所有正實數
  • 存在鄰域(英文是basin of attraction),使得該域中任何點在時間趨於無限時都會趨近,或者更精準的是滿足以下敘述:
對任何的鄰域,存在正實數使得對所有
  • 不存在非空子集可以取代滿足前面兩點性質。

吸子還有許多其它種的定義,例如有些作者要求吸子有正的測度(以避免吸子中只有一個點),但其他作者只要求是鄰域[1]

種類[编辑]

吸子是動態系統相空間子集。在西元1960年代前,吸子仍被認為有「簡單的」幾何形狀,例如點、直線、平面等。但吸子的形狀事實上可能相當複雜, 斯梅爾證明其馬蹄映射的吸子有康托尔集的結構。

兩種簡單的吸子是不動點和極限環。也有的吸子無法使用基本的幾何物件的組合來描述,那麼他就被稱作奇異吸子。

不動點[编辑]

有限個點[编辑]

極限環[编辑]

極限環面[编辑]

奇異吸子[编辑]

勞侖次奇異吸子的圖,其中用到參數ρ=28, σ = 10, β = 8/3。

一個吸子被稱為奇異strange)如果他具有碎形結構[2],這常常出現在動態系統混亂的時,但奇異非混亂吸子也是存在的。

若一奇異吸子是混沌的,則其對初始條件敏感。也就是任意兩個極為接近的初始點,在一定數量的疊代運算後,兩者可以相距甚遠;也可以再經過一定數量的疊代運算後又變得極為靠近。也因此,一個具有混沌吸子的動態系統在局域是不穩定的,然而廣域來看卻可以是穩定的,因為這些動態點再怎麼彼此分離,也都不會離開吸子。

奇異吸子這個詞最早是由呂埃勒Floris Takens英语Floris Takens所命名,用以描述流體系統經一連串分岔所產生的吸子結果。[3]

奇異吸子在一些方向上常是可微的,但一些例子則如同康托塵則不可微。奇異吸子亦可出現在有雜訊的場合。[4]

奇異吸子的例子包括多卷波混沌吸引子艾儂吸子熱斯勒吸子,以及勞侖次吸子

  1. ^ Milnor, J. (1985). "On the Concept of Attractor." Comm. Math. Phys 99: 177–195.
  2. ^ Boeing, G. Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction. Systems. 2016, 4 (4): 37 [2016-12-02]. arXiv:1608.04416. doi:10.3390/systems4040037. 
  3. ^ Ruelle, David; Takens, Floris. On the nature of turbulence. Communications in Mathematical Physics. 1971, 20 (3): 167–192. doi:10.1007/bf01646553. 
  4. ^ Chekroun M. D., Simonnet E., and Ghil M. Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures. Physica D. 2011, 240 (21): 1685–1700. doi:10.1016/j.physd.2011.06.005.