本页使用了标题或全文手工转换

有界輸入有界輸出穩定性

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

信號處理控制理論中,有界輸入有界輸出穩定性簡稱BIBO穩定性,是一種針對有輸入信號線性系統穩定性。BIBO是「有界輸入有界輸出」(Bounded-Input Bounded-Output)的簡稱,若系統有BIBO穩定性,則針對每一個有界的輸入,系統的輸出也都會有界,不會發散到無限大。

對於信號若存在有限的定值使得信號的振幅不會超過,則此信號為有界的,也就是說

針對離散訊號,或
針對連續訊號

線性時不變系統時域分析下的條件[编辑]

連續系統的充份及必要條件[编辑]

針對連續時間的線性時不變(LTI)系統,BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分,也就是存在L1範數

離散系統的充份條件[编辑]

針對離散時間的線性時不變系統,BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分,也就是存在L1範數

充份條件的證明[编辑]

假設離散時間的線性時不變系統,其脈衝響應和輸入和輸出之間會有以下的關係:

其中卷積 則依卷積的定義:

的最大值

(根據三角不等式

是絕對可求和,則

因此若是絕對可求和,且有界,則因為也會有界。

連續時間的情形也可以依類似的方式證明。

線性時不變系統頻域分析下的條件[编辑]

連續時間訊號[编辑]

對於一個有理的連續時間系統,穩定性的條件是拉普拉斯轉換收斂區域包括複數平面的虛軸。若系統為因果系統,其收斂區域為「最大極點」(實部為最大值的極點)實部垂直線往右的開集,定義收斂區域的極點實部稱為收斂橫坐標英语abscissa of convergence。因此,若要有BIBO穩定性,系統的所有極點都需在S平面的嚴格左半平面(不能在虛軸上)。

可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下:

其中,且.

因此收斂區域必須包括虛軸。

離散時間訊號[编辑]

對於一個有理離散時間系統,穩定性的條件是Z轉換收斂區域包括單位圓。若系統為因果系統,其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的開集,因此,若要有BIBO穩定性,系統的所有極點都需在Z平面的單位圓內(不能在單位圓上)。

可以用類似的方式推導穩定性準則:

其中,且

因此收斂區域必須包括單位圓

相關條目[编辑]

延伸閱讀[编辑]

  • Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
  • John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
  • D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
  • Proof of the necessary conditions for BIBO stability.
  • Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577