三角不等式

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在三角形中,两条边的长度之和总是大于或等于第三边。

三角不等式數學上的一個不等式,表示從B到A再到C的距離永不少於從B到C的距離;亦可以說是兩項獨立物件的之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外,還適用於其他數學範疇及日常生活中。

向量[编辑]

\left| \overrightarrow{BA} \right| \le \left| \overrightarrow{AC} \right| + \left| \overrightarrow{CB} \right|

因为上式等同c \le b+a。 (其中a,b,c為任意三角形的,其中三邊)

實數[编辑]

  • \left| a + b \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|

證明:

考慮到實數的平方必然是非负数,將兩邊平方,使它剩下一套絕對值符號:

 a^2 + 2ab + b^2 \le a^2 + \left| 2ab \right| + b^2
 2ab \le \left| 2ab \right|

對於(a < 0, b > 0) \or (b < 0, a > 0)(即a, b彼此異號), 2ab < \left| 2ab \right|

對於(a, b \le 0) \or (a, b \geq 0) (即a, b彼此同號), 2ab = \left| 2ab \right|

球面三角形[编辑]

\left|a - b\right| \le c \le a + b

反方向[编辑]

閔可夫斯基空間,三角不等式是反方向的:

||x + y|| ≥ ||x|| + ||y||     对所有 x, y \in V,使得||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 和 tx ty ≥ 0

這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。

參見[编辑]