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Z轉換

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數學信号处理中,Z轉換英语:Z-transform)把一連串離散實數複數訊號,從時域轉為复頻域表示。

可以把它认为是拉普拉斯变换的离散时间等价。在时标微积分中会探索它们的相似性

历史[编辑]

现在所知的Z变换的基本思想,拉普拉斯就已了解,而1947年W. Hurewicz英语Witold Hurewicz用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。[1] 后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的雷加基尼查德称其为“Z变换”。[2][3]

E. I. Jury后来发展并推广了改进或高级Z变换英语Advanced Z-transform[4][5]

Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法,该方法可以追溯到1730年的时候,棣莫弗与概率论结合将其引入。[6] 从数学的角度,当把数字序列视为解析函数的(洛朗)展开时,Z变换也可以看成是洛朗级数

定義[编辑]

像很多积分变换一样,Z变换可以有单边和双边定义。

双边Z变换[编辑]

双边Z轉換把离散時域信号 x[n] 轉為形式幂级数 X(Z)

當中 是整數, 是複數变量,其表示方式為

其中 Az 的模,j虚数单位,而 ɸ 为幅角(也叫相位角),用弧度表示。

单边Z变换[编辑]

另外,只对 n ≥ 0 定义的 x[n]单边Z变换定义为

信号处理中,这个定义可以用来计算离散时间因果系统单位冲激响应

单边Z变换的一个重要例子是概率母函数,其中 x[n] 部分是离散随机变量取 n 值时的概率,而函数 X(z) 通常写作 X(s),用 s = z−1 表示。Z变换的性质(在下面)在概率论背景下有很多有用的解释。

地球物理学定义[编辑]

地球物理中的Z变换,通常的定义是 z 的幂级数而非 z−1 的。例如,Robinson、Treitel[7]和Kanasewich都使用这个惯例。[8] 地球物理定义为:

这两个定义是等价的;但差分结果会有一些不同。例如,零点和极点的位置移动在单位圆内使用一个定义,在单位圆外用另一个定义。[7][8] 因此,需要注意特定作者使用的定义。

逆Z变换[编辑]

Z变换为

其中 C 是完全处于收敛域(ROC)内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下(参见例2),这意味着路径 C 必须包围 X(z) 的所有极点。

这个曲线积分的一个特殊情形出现在 C 是单位圆的时候(可以在ROC包含单位圆的时候使用,总能保证 X(z) 是稳定的,即所有极点都在单位圆内)。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换

有限范围 n 和有限数量的均匀间隔的 z 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换(DFT)混淆—是通过将 z 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。

收敛域[编辑]

收敛域(ROC)是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。

例1(无ROC)[编辑]

x[n] = (0.5)n。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 成为

观察上面的和

因此,没有一个 z 值可以满足这个条件。

例2(因果ROC)[编辑]

ROC用蓝色表示,单位圆用灰色虚点圆表示(外圈者,而 |z| = 0.5 这个圆用虚线圆表示(內圈者)

(其中 u单位阶跃函数)。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到

观察这个和

最后一个等式来自无穷几何级数,而等式仅在 |0.5z−1| < 1 时成立,可以以 z 为变量写成 |z| > 0.5。因此,收敛域为 |z| > 0.5。在这种情况下,收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。

例3(非因果ROC)[编辑]

ROC用蓝色表示,单位圆用灰色虚点圆表示(用眼睛看会呈红色),而 |z| = 0.5 这个圆用虚线圆表示

(其中 u单位阶跃函数)。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到

观察这个和

再次使用无穷几何级数,此等式只在 |0.5−1z| < 1 时成立,可以用 z 为变量写成 |z| < 0.5。因此,收敛域为 |z| < 0.5。在这种情况下,收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。

本例与上例的不同之处仅在收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。

实例结论[编辑]

实例2和3清楚地表明,当且仅当指定收敛域时,x[n] 的Z变换 X(z) 才是唯一的。画因果和非因果情形的零极点图英语pole–zero plot表明,在这两种情况下收敛域都不包含极点位于 0.5 的情形。这可以拓展到多个极点的情形:收敛域永远不会包含极点。

在例2中,因果系统产生一个包含 |z| = ∞ 的收敛域,而例3中的非因果系统产生包含 |z| = 0 的收敛域。

ROC表示为蓝色圆环 0.5 < |z| < 0.75

在有多个极点的系统中,收敛域可以既不包含 |z| = ∞ 也不包含 |z| = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如,

的极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 < |z| < 0.75,不包含原点和无穷大。这样的系统称为混合因果系统,因为它包含一个因果项 (0.5)nu[n] 和一个非因果项 −(0.75)nu[−n−1]。

一个系统的稳定性可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆(即 |z| = 1),那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统(例2)是稳定的,因为 |z| > 0.5 包含单位圆。

如果给定一个没有收敛域的Z变换(即模糊的 x[n]),可以确定一个唯一的 x[n] 满足下列:

  • 稳定性
  • 因果性

如果你要稳定性,收敛域必须包含单位圆;如果你需要一个因果系统,收敛域必须包含无穷大,并且系统函数应为一个右边序列。如果你需要一个非因果系统,那么收敛域必须包含原点,且系统函数为左边序列。如果你既要稳定性,也要因果性,系统函数的所有极点都必须在单位圆内。

可以找到唯一的 x[n]

性质[编辑]

Z变换性质
时域 Z域 证明 收敛域
记法
線性 包含 ROC1 ∩ ROC2
时间膨胀

r: 整数

降采样 ohio-state.edu  或  ee.ic.ac.uk
时移 ROC,除了 k > 0 时 z = 0 和 k < 0 时 z = ∞
Z域的

尺度性质

时间反转
共轭复数
实部
虚部
微分
卷积 包含 ROC1 ∩ ROC2
互相关 包含 的ROC的交集
一阶差分 包含 X1(z)z ≠ 0 的ROC的交集
累积
乘法 -

帕塞瓦尔定理

初值定理:如果 x[n] 为因果的,那么

终值定理:如果 (z−1)X(z) 的极点在单位圆内,则

常见的Z变换对表[编辑]

这里:

单位阶跃函数

离散时间单位冲激函数。两者通常都不认为是真正的函数,但由于它们的不连续性把它们看成是分布(它们在 n = 0 处的值通常无关紧要,除非在处理离散时间的时候,它们会变成衰减离散级数;在本章节中对连续和离散时间域,都在 n = 0 处取 1,否则不能使用下表中收敛域一栏的内容)。同时列出两个“函数”,使得(在连续时间域)单位阶跃函数是单位冲激函数的积分,或(在离散时间域)单位阶跃函数是单位冲激函数的求和,因此要令他们的值在 n = 0 处为 1。

信号, Z变换, ROC
1 1 所有 z
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

与傅里叶级数和傅里叶变换的关系[编辑]

对于区域 |z|=1(称为单位圆)内的 z 值,我们可以通过定义 z=e 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数

   
(Eq.1)

   

也被称作 x[n] 序列的离散时间傅里叶变换(DTFT)。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换周期性求和英语periodic summation,这使得它成为广泛使用的分析工具。要理解这一点,令 X(f) 为任意函数 x(t) 的傅里叶变换,该函数以某个间隔 T 采样就与 x[n] 序列相等。于是 x[n] 序列的DTFT可以写作:

若T的單位是秒,的單位即為赫兹。比較兩個數列可得  為标准化频率英语Normalized frequency (digital signal processing)#Alternative normalizations,單位是radians per sample。數值ω=2π對應 Hz. ,而且在替換 後,  Eq.1可以表示為傅里叶变换X(•):

若數列x(nT)表示线性时不变系统冲激响应,這些函數也稱為频率响应,當x(nT)是週期性數列,其DTFT在一或多個共振頻率發散,在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率,振幅可變的狄拉克δ函数表示。因為其週期性,只會有有限個振幅,可以用較簡單許多的离散傅里叶变换來計算。(參照離散傅立葉變換#周期性

和拉氏变換的關係[编辑]

双线性变换[编辑]

双线性变换可以用在連續時間濾波器(用拉氏域表示)和離散時間濾波器(用Z域表示)之間的轉換,其轉換關係如下:

將一個拉氏域的函數轉換為Z域下的,或是

從Z域轉換到拉氏域。藉由双线性变换,複數的s平面(拉氏变換)可以映射到複數的z平面(Z轉換)。這個轉換是非線性的,可以將S平面的整個jΩ軸映射到Z平面的单位圆內。因此,傅立葉變換(在jΩ axis計算的拉氏變換)變成離散時間傅立葉變換,前提是假設其傅立葉變換存在,也就是拉氏变換的收斂區域包括jΩ軸。

线性常系数差分方程[编辑]

线性常系数差分(LCCD)方程是基于自回归滑动平均的线性系统表达形式。

上面等式两边可以同时除以 α0,如果非零,正规化 α0 = 1,LCCD方程可以写成

LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 y[n] 是过去输出 y[n−p]、当前输入 x[n] 与之前输入 x[n−q] 的一个函数。

传递函数[编辑]

对上述方程去Z变换(使用线性和时移法则)得到

整理结果

零点和极点[编辑]

代数基本定理得知分子M(对应于 H 的零点)和分母有 N 个根(对应于极点)。用极点和零点重新整理传递函数

其中 qkk 阶零点,pkk 阶极点。零点和极点通常是复数,当在复平面(z平面)作图时称为零极点图英语pole–zero plot

此外,在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的話,零点和极点的数目总会相等。

通过对分母因式分解,可以使用部分分式分解可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应和线性常系数差分方程。

输出响应[编辑]

如果一个系统 H(z) 由信号 X(z) 驱动,那么输出为 Y(z) = H(z)X(z)。通过对 Y(z) 部分分式分解并取逆Z变换可以得到输出 y[n]。在实际运用中,在分式分解 之后再乘 z 产生 Y(z) 的一个形式(含有很容易计算逆Z变换的项)往往很有用。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ E. R. Kanasewich. Time sequence analysis in geophysics 3rd. University of Alberta. 1981: 185–186. ISBN 978-0-88864-074-1. 
  2. ^ J. R. Ragazzini and L. A. Zadeh. The analysis of sampled-data systems. Trans. Am. Inst. Elec. Eng. 1952, 71 (II): 225–234. 
  3. ^ Cornelius T. Leondes. Digital control systems implementation and computational techniques. Academic Press. 1996: 123. ISBN 978-0-12-012779-5. 
  4. ^ Eliahu Ibrahim Jury. Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons. 1958. 
  5. ^ Eliahu Ibrahim Jury. Theory and Application of the Z-Transform Method. Krieger Pub Co. 1973. ISBN 0-88275-122-0. 
  6. ^ Eliahu Ibrahim Jury. Theory and Application of the Z-Transform Method. John Wiley & Sons. 1964: 1. 
  7. ^ 7.0 7.1 Enders A. Robinson, Sven Treitel. Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing. SEG Books. 2008: 163, 375–376. ISBN 9781560801481. 
  8. ^ 8.0 8.1 E. R. Kanasewich. Time Sequence Analysis in Geophysics. University of Alberta. 1981: 186, 249. ISBN 9780888640741. 

延伸阅读[编辑]

  • Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.
  • Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.
  • Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.

外部链接[编辑]