极点 (复分析)

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伽玛函数的绝对值。从左面可以看出,在极点处函数的值趋于无穷大。而在图像的右面,则没有极点。

亚纯函数极点是一种特殊的奇点,它的表现如同z-a = 0时1/(z-a)n的奇点。这就是说,如果当z趋于a时,函数f(z)趋于无穷大,那么f(z)在z = a处便具有极点。

定义[编辑]

假设U复平面C开子集aU的一个元素,f : U − {a} → C是一个在定义域内全纯的函数。如果存在一个全纯函数g : UC和一个非负整数n,使得对于所有U − {a}内的z,都有

 f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n}

那么a便称为f的极点。满足以上条件的最小整数n称为极点的阶。一阶的极点又称为简单极点,零阶的极点又称为可去奇点

从以上的定义,我们可以推出一些特征:

如果na阶极点,则在以上的表达式中必有g(a) ≠ 0。因此,我们有

f(z) = \frac{1}{h(z)}

其中h是在a的开邻域内全纯的函数,在a处具有n零点

另外,由于g是全纯函数,f可以表示为:

f(z) = \frac{a_{-n}}{ (z - a)^n } + \cdots + \frac{a_{-1}}{ (z - a) } + \sum_{k \geq 0} a_k (z - a)^k.

这是一个罗朗级数,它的主部分是有限的。全纯函数∑k≥0ak (z - a)k称为f的正则部分。因此,点afn阶极点,当且仅当fa处的罗朗级数中所有低于−n的次数都为零,而−n次项不为零。

评论[编辑]

如果函数f的一阶导数在a处具有简单极点,则af的一个分支点,但反过来不成立。

一个既不是极点又不是分支点的非可去奇点称为本性奇点

除了一些孤立奇点外全纯的函数,且所有的奇点均为极点,则该函数称为亚纯函数

参见[编辑]

外部链接[编辑]