極點 (複分析)

伽瑪函數的絕對值。從左面可以看出，在極點處函數的值趨於無窮大。而在圖像的右面，則沒有極點。

亞純函數的極點是一種特殊的奇異點，它的表現如同$z-a=0$時${\frac {1}{(z-a)^{n}}}$的奇異點。也就是說，如果當$z\to a$時，函數$f(z)\to \infty$，那麼$f(z)$在$z=a$處便具有極點。

定義

假設$U$ 是複數平面$\mathbb {C}$的開子集，$a$是$U$的一個元素，$f:U-\{a\}\to \mathbb {C}$是一個在定義域內全純的函數。如果存在一個全純函數$g:U\to \mathbb {C}$和一個非負整數$n$，使得對於所有$U-\{a\}$內的$z$，都有

$f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}$

那麼$a$便稱為$f$的極點。滿足以上條件的最小整數$n$稱為極點的階。一階的極點又稱為簡單極點。

性質

1.函數f在極點a的極限值是$\infty$.也就是說

$\lim _{z\rightarrow a}f(z)=\infty$

2.由性質1.可知,如果令函數

$h(z)={\frac {1}{f(z)}}$

那麼代入定義可知：

$h(z)=(z-a)^{m}{\frac {1}{g(z)}}$

其中${\frac {1}{g(z)}}$在$z=a$點解析。那麼有$z=a$是$h(z)$的m階零點。

3.由於$g$是全純函數，$f$可以表示為：

$f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}.$

這是一個洛朗級數，它的主部分是有限的。全純函數$\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}$稱為$f$的正則部分。因此，點$a$是$f$的$n$階極點，若且唯若$f$在$a$處的羅朗級數中所有低於$-n$的次數都為零，而$-n$次項不為零。

評論

如果函數$f$的一階導數在$a$處具有簡單極點，則$a$是$f$的一個分支點，但反過來不成立。

一個既不是極點又不是分支點的非可去奇異點稱為本性奇異點。

除了一些孤立奇異點外全純的函數，且所有的奇異點均為極點，則該函數稱為亞純函數。

參見

• 零點
• 留數

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Pole. MathWorld. 
• 零點和極點的教程