非線性控制

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回授控制系統,目的是控制一系統(受控系統)使其輸出可以追隨參考信號。感測器會將輸出轉換為信號,而控制器會將實際輸出的感測信號減去參考信號,應用所得到的誤差信號來控制受控系統,使其輸出接近參考信號。在非線性控制系統中,受控系統、感測器或是控制器中至少有一個是非線性的。

非線性控制(Nonlinear control)是控制理论中處理非線性系統的理論。控制理论本身是工桯和数学的跨領域學科,探討动力系统在有輸入下的行為,以及如何利用反馈前馈、信號濾波來改變輸入,以調整動力系統的輸出。被控制的系統會稱為受控體。有一個讓受控體輸出可以追隨參考信號的方法,就是將受控體輸出反馈到控制器,和參考信號比較,利用比較後的結果來改變受控體的輸入,使輸出可以追隨參考信號。

控制理论可以分為二種:線性控制理論可適用於元件均滿足叠加原理的系統(線性系統),其統御方程是線性的微分方程,線性系統中若其參數不會隨時間而改變,則稱為线性时不变(LTI)系統,這類系統可以用強大的頻域數學技巧加以分析,例如拉普拉斯变换傅里叶变换Z轉換波德圖根軌跡圖奈奎斯特稳定判据

非線性控制理論則是針對不符合叠加原理的系統(非線性系統),適用於較多的真實世界系統,因為所有真實世界的系統都是非線性的。其統御方程是非線性微分方程,要處理非線性控制的理論比較嚴謹,也比較不具一般性,只能適用在一些特定種類的系統。這些技術包括极限环理論、庞加莱映射李亞普諾夫函數描述函數。若只需要研究非線性系統在某穩定點附近行為,可以用近似的方式將非線性系統線性化英语linearization,方法是將非線性解表示為無窮级数,再利用線性的技巧來處理[1]。非線性系統一般會用電子計算機中的數值方法英语numerical method來分析,例如用仿真語言英语simulation language仿真其行為。有時雖然受控體是線性的,但使用非線性控制會讓實現更簡單、速度更快、更準確、或是控制需要的能量更少,不過在設計上可能也會比較困難。

非線性控制系統的例子是自動調溫器控制的加熱系統。大樓的溫控系統對溫度的變化有非線性的響應,可能是「開啟」或是「關閉」,不像線性比例控制的設備,可以針對溫度差作較精細的控制。因此,溫度需低於「開啟」的設定溫度後,加熱系統才會打開,之後因為加熱系統的作用,溫度會開始上昇,溫度高於「關閉」的設定溫度後,加熱系統會關閉,溫度漸漸下降。加熱系統就會依此循環運作。這個溫度的循環稱為极限环,就是非線性系統的特點之一。

非線性系統的特點[编辑]

以下是一些非線性系統的特點

非線性系統的分析及控制[编辑]

有許多針對非線性系統的分析及控制技巧:

也有一些針對非線性系統的控制器設計技巧,可以分為幾類。一類是在可線性的範圍內,將非線性系統近似為線性系統,再用線性系統的方法處理:

也有一些是用輔助的非線性回授,設法讓系統接近線性,以設計控制器:

以及李亞普諾夫系列的方法:

非線性回授分析–Lure問題[编辑]

Lure問題的方塊圖

早期有一個由Anatoliy Isakovich Lure英语Anatoliy Lure提出的非線性回授系統分析問題。

Lur問題描述的控制系統有一個線性非時變的前向路徑,其回授路徑有無記憶,可能時變的非線性成份。

其線性部份可以表示為四個矩陣(A,B,C,D),非線性成份是Φ(y),其中(扇形非線性)

絕對穩定性問題[编辑]

考慮:

  1. (A,B) 有可控制性,(C,A) 有可觀察性
  2. 存在二個實數a, ba < b,定義了Φ的扇形區域

Lure問題(也稱為絕對穩定性問題)是要推導只和傳遞矩陣H(s)和{a,b}有關的條件,可以使x = 0是系統的全域均勻漸近穩定平衡點。

有二個有關絕對穩定性問題的著名猜想,都已證實不成立:

以圖形上來看,上述猜想可以表示為在Φ(y) x y或是dΦ/dy x Φ/y圖上的幾何制[2]。這兩個猜想存在反例,在線性穩定扇形區域內存在非線性回授,使得穩定的平衡點和穩定的周期解同時存在(隱蔽振盪英语hidden oscillation)。

有二個有關Lure問題的主要定理,提供絕對穩定的充份條件:

在非線性控制中的理論成果[编辑]

弗罗贝尼乌斯定理[编辑]

弗罗贝尼乌斯定理是微分幾何中深刻的成果,其相關的概念和其他數學領域有關。若應用在非線性控制,其型式如下:假設以下型式的系統

其中是屬於分佈的向量場,而是控制函數,的積分曲線會限制在維流形,若,且對合分佈。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ trim point
  2. ^ Naderi, T.; Materassi, D.; Innocenti, G.; Genesio, R. Revisiting Kalman and Aizerman Conjectures via a Graphical Interpretation. IEEE Transactions on Automatic Control. 2019, 64 (2): 670–682. ISSN 0018-9286. doi:10.1109/TAC.2018.2849597. 

延伸閱讀[编辑]

外部連結[编辑]