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动力系统

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洛伦兹振荡器,一个动态系统的研究中出现洛伦茨吸引子

动力系统(dynamical system)是数学上的一个概念。动力系统是一种固定的规则,它描述一个给定空间(如某个物理系统的状态空间)中所有点随时间的变化情况。例如描述钟摆晃动、管道中水的流动,或者湖中每年春季鱼类的数量,凡此等等的数学模型都是动力系统。

在动力系统中有所谓状态的概念,状态是一组可以被确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。动力系统的演化规则是一组函数固定规则,它描述未来状态如何依赖于当前状态的。这种规则是确定性的,即对于给定的时间间隔內,从现在的状态只能演化出一个未来的状态。

若只是在一系列不连续的时间点考察系统的状态,则这个动力系统为离散动力系统;若时间连续,就得到一个连续动力系统。如果系统以一种连续可微的方式依赖于时间,我们就称它为一个光滑动力系统

歷史[编辑]

許多人視法國數學家及物理學家龐加萊為動態系統的創始者[1]。他發行了兩份現在被譽為經典的專著:天體力學的新方法《天體力學的新方法》(New Methods of Celestial Mechanics,1892–1899)、《天體力學講義》(Lectures on Celestial Mechanics,1905–1910)。專著中,他成功將研究結果應用在三體問題,並詳細研究其狀態(頻率,穩定性等)。作品中也包含龐加萊遞推定理(Poincaré recurrence theorem),該定理指出某些系統在經過足夠長但有限的時間之後,將返回到非常接近初始狀態的狀態。

俄羅斯數學家李亞普諾夫發展許多重要的近似方法。他在1899年發展出的方法,使得定義常微分方程組的穩定性是可行的。 他也創造了動態系統穩定性的現代理論。

美國數學家伯克霍夫在1913年證明了龐加萊的最終幾何定理(Last Geometric Theorem),一個三體問題的特殊形況。在1927年,他則發行了《動態系統》(Dynamical Systems)。在1931年,伯克霍夫發現了最使他名留青史的結果,現在稱作遍歷定理。

美國數學家斯梅爾也對動態系統作出重大貢獻。他的貢獻馬蹄映射推動了動態系統重要研究,此外他還勾劃出研究計劃,讓很多研究者實行。

烏克蘭數學家Sharkovsky英语Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky在1964年給出關於離散動力系統的Sharkovsky's定理英语Sharkovsky's theorem,此定理的一個含義是,如果實數軸上的離散動態系統具有週期為3的週期點,那麼它必定具有任意週期的週期點。


参见[编辑]

参考书籍[编辑]

  1. ^ Holmes, Philip. "Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and "chaos"." Physics Reports 193.3 (1990): 137-163.

延伸閱讀[编辑]

Works providing a broad coverage:

  • Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden. Foundations of mechanics. Benjamin–Cummings. 1978. ISBN 0-8053-0102-X.  (available as a reprint: ISBN 0-201-40840-6)
  • Encyclopaedia of Mathematical Sciences (ISSN 0938-0396) has a sub-series on dynamical systems with reviews of current research.
  • Christian Bonatti; Lorenzo J. Díaz; Marcelo Viana. Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity: A Global Geometric and Probabilistic Perspective. Springer. 2005. ISBN 3-540-22066-6. 
  • Stephen Smale. Differentiable dynamical systems. Bulletin of the American Mathematical Society. 1967, 73 (6): 747–817. doi:10.1090/S0002-9904-1967-11798-1. 

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外部链接[编辑]