微分同胚

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數學中,微分同胚是適用於微分流形範疇的同構概念。這是從微分流形之間的可逆映射,使得此映射及其逆映射均為光滑(即無窮可微)的。

定義[编辑]

對給定的兩個微分流形 M, N,若對光滑映射 f: M \to N,存在光滑映射 g: N \to M 使得 f \circ g = \mathrm{id}_Ng \circ f = \mathrm{id}_M,則稱 f 為微分同胚。此時逆映射 g 是唯一的。

若在微分流形 M, N 之間存在微分同胚,則稱 MN 是微分同胚的,通常記為 M \simeq N

對於 C^r 流形,可採同樣辦法定義 C^r微分同胚之概念。

例子[编辑]

考慮

\mathbb{R}/\mathbb{Z} \simeq S^1

此微分同胚可由下述映射給出:

x\mapsto e^{2\pi ix}.

與同胚的關係[编辑]

對維度 \leq 3 的流形,可證明同胚的流形必為微分同胚;換言之,此時流形上的拓撲結構確定了微分結構。在四維以上則存在反例,最早的構造是約翰·米爾諾七維怪球,米爾諾更證明了七維球上恰有 28 種微分流形結構,它們都可表成某個在 S^4 上的 S^3-叢。在1980年代,西蒙·唐納森邁克爾·哈特利·弗里德曼的證明在 \mathbb{R}^4 上有不可數個相異的微分結構。

外部連結[编辑]