级数

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无穷级数
无穷级数

数学中,一个有穷或无穷的序列的元素的形式和称为级数。序列中的项称作级数的通项。级数的通项可以是实数矩阵向量等常量,也可以是关于其他变量的函数,不一定是一个。如果级数的通项是常量,则称之为常数项级数,如果级数的通项是函数,则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列等比数列的级数。

有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。如果序列是无穷序列,其和则称为无穷级数,有时也简称為级数。无穷级数有发散和收敛的区别,称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数在收敛时才會有一个发散的无穷级数在一般意义上没有和,但可以用一些别的方式来定义。

无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。无穷级数一般写作或者,级数收敛时,其和通常被表示为

无穷级数的定义[编辑]

是一个无穷序列 :,其前n项的和称为部分和

部分和依次构成另一个无穷序列:

这两个序列合称为一个级数,记作或者,其中符號為求和号

无穷级数的敛散性[编辑]

对于级数,如果当趋于正无穷大时,sn趋向一个有限的极限,那么这个无穷级数就叫做是收敛的,叫做级数的和。如果极限不存在,这个无穷级数就是发散的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和s。这时可以定义级数余项和

任意项级数[编辑]

如果级数中的各项可以是正数,负数或零,则级数称为任意项级数。 将任意项级数各项取绝对值,得到正项级数

条件收敛[编辑]

如果任意项级数收敛,而级数发散,则称级数条件收敛

绝对收敛[编辑]

如果级数收敛,则称级数绝对收敛

定理:如果任一项级数的各项的绝对值所组成的正项级数收敛,则级数收敛。

收敛级数的性质[编辑]

  • 若一个无穷级数收敛,其和为s,则如果每一项乘以一个常数a,得到的级数也收敛,且和等于as
  • 收敛的无穷级数可以逐项相加或相减,如有两个无穷级数:
,则
.
  • 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性,如:

这两个级数的敛散性是一样的。

  • n趋向无限大时,任何一个收敛级数的通项都趋于0:
  • 在一个完备空间中,也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛:一个无穷级数收敛的充要条件是,对任意 ,总存在,使得任意的

无穷级数的研究历史[编辑]

将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念,对泰勒级数麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦余弦正切函数等的泰勒展开,还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。

17世纪,詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数,并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年,布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数q-级数的理论。

对审敛法的研究[编辑]

14世纪时,马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则,后来他的学生将其推广。

然而在欧洲,审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数

的论文,提出了一些简单的收敛准则,并对余项和以及收敛半径进行了讨论。

柯西提出了严格的审敛法的重要性,他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的,同时开始研究严格的审敛准则。欧拉高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。

1826年,阿贝尔在他的关于二项式级数

的论文中更正了柯西的若干个结论,并给出了二项式级数的严格的求和方法,指出了连续性在收敛问题中的重要性。

柯西提出的审敛法并不是普遍适用的,只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家,比如拉贝(Joseph Ludwig Raabe)的对数判别法德·摩根对数判别法(被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效) ,以及贝特朗斯托克斯切比雪夫等人的审敛法也是如此。

对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始,之后的艾森斯坦维尔斯特拉斯尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。

对一致连续性的研究[编辑]

1821年,柯西首先开始对一致连续性的研究,但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出,但首先得出正确结论的是西德尔en:Philipp Ludwig von Seidel)和斯托克斯。1853年,柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究,并得到了与斯托克斯一样的结论。然而,一致连续性的重要性在很长一段时间裡没有受到重视。

类别[编辑]

几何级数[编辑]

几何级数(或等比级数)是指通项为等比数列的级数,比如:

一般来说,几何级数收敛当且仅当 |z| < 1。

调和级数[编辑]

调和级数是指通项为 的级数:

它是发散的。

p-级数[编辑]

p-级数是指通项为的级数:

对于实数值的p,当p > 1 时收敛,当p ≤ 1 时发散。这可以由积分比较审敛法得出。

函数黎曼ζ函數在实轴大于1的部分的限制,关于黎曼ζ函數有著名的黎曼猜想

裂项级数[编辑]

收敛当且仅当数列bn收敛到某个极限L,并且这时级数的和是b1L

泰勒级数[编辑]

泰勒级数是关于一个光滑函数 在一点 附近取值的级数。泰勒函数由函数在点 的各阶导数值构成,具体形式为:

这是一个幂级数。如果它在 附近收敛,那么就称函数 在点 上是解析的。

交错级数[编辑]

具有以下形式的级数

其中所有的 an 非负,被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法

幂级数[编辑]

形同的函数项无穷级数称为幂级数。它的收敛与否和系数有关。

傅里叶级数[编辑]

任何周期函数都可以用正弦函数余弦函数构成的无穷级数来表示,称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数,也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论组合数学信号处理概率论统计学密码学声学光学等领域都有着广泛的应用。

例如,周期为的周期函数可以表示为:

其中,,特别的,

常数项无穷级数审敛法[编辑]

正项级数[编辑]

若通项为实数的无穷级数每一项都大于等于零,则称是一正项级数

如果无穷级数 是正项级数,则部分和Sn是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则:单调有界数列必有极限。因此,要么部分和数列Sn有界,这时收敛,,要么部分和数列趋于正无穷,这时级数发散。


比较判别法[编辑]

是正项级数。

如果存在正实数 M,使得从若干项开始,(也就是说),则
  • 收敛时,可推出 也收敛。
  • 发散时,可推出 也发散。
如果,则
  • 收敛时,可推出 也收敛。
  • 发散时,可推出 也发散。
如果,则 同时收敛或发散。

比如,我们已知级数:收敛,则级数:也收敛,因为对任意的 n

比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说,我们可以选择比较简单的级数:作为“标准级数”,依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当 时, 发散,当时, 收敛。

达朗贝尔判别法[编辑]

在比较判别法中,如果取几何级数为比较的标准级数,可得:

是通项大于零的正项级数。并且,则
  • 时,级数 收敛。
  • 时,级数 发散。
  • 时,级数 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为比值判别法比值审敛法

柯西收敛准则[编辑]

是正项级数。并且,则
  • 时,级数 收敛。
  • 时,级数 发散。
  • 时,级数 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为根值判别法根值审敛法'

交错级数[编辑]

具有以下形式的级数

其中所有的 an 非负,被称作交错级数

莱布尼茨判别法[编辑]

在上述的级数中,如果当 n 趋于无穷时, 数列 an 的极限存在且等于 0,并且每个 an 小于 an-1 (即, 数列 an单调递减的),那么级数收敛。

任意项级数[编辑]

对于通项为任意实数的无穷级数 ,将级数 称为它的绝对值级数。可以证明,如果收敛,那么 也收敛,这时称 绝对收敛。如果 收敛,但是 发散,则称 条件收敛。比如说,级数 绝对收敛,因为前面已经证明 收敛。而级数 是条件收敛的。它自身收敛到 ,但是它的绝对值级数 是发散的。

黎曼级数定理说明,如果一个无穷级数 条件收敛,那么对于任意的实数 x ,存在一个正整数到正整数的双射 ,使得级数 收敛到 x 。对于正负无穷大,上述双射也存在。

函数项级数[编辑]

为定义在区间 I 上的函数列,则表达式:称为函数项级数,简记为。对函数项级数的主要研究是:

  1. 确定对哪些 x ,收敛。
  2. 收敛的话,其和是什么,有什么性质?

收敛域[编辑]

对区间 I 上的每个 ,级数 是常数项级数。若 收敛,则称 的一个收敛点 全体收敛点的集合称为它的收敛域。若 发散,则称 的一个发散点 全体发散点的集合称为它的发散域在其收敛域的每一点上都有定义,因此定义了一个函数,称为和函数,记为。按照定义,,其中 为函数项级数在 点上的部分和。

一致收敛[编辑]

函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义,但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说,当函数项级数 中的每一项 在收敛域上都是连续函数时,和函数未必会是连续函数。以下是一个例子:

,也就是说等等,它们显然都是连续函数(甚至是光滑函数)。这时函数项级数在 点上的部分和。在区间的每一点上,部分和都有极限:
时,
时,
于是在区间上,级数 收敛,其和函数为:
时,
这不是一个连续函数。

然而,如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话,可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性,这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样,函数项级数在某个区间 内(关于某个范数)一致收敛的定义是它的部分和函数 在区间上一致收敛到和函数

或者写成

可以证明:

如果级数 在区间 内一致收敛,并且每个 都是连续函数,那么和函数 在区间 上也是连续函数。

进一步的,如果导函数级数的每一项都是 函数(p阶连续可微函数),并且各阶导函数级数在区间 内都一致收敛,那么级数和函数 也是 函数,并且:

绝对收敛[编辑]

函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间 和范数,函数项级数 在区间 内绝对收敛,当且仅当常数级数 收敛。

绝对收敛的(连续?)函数在每一点都收敛,并且在区间 内一致收敛。[來源請求]

幂级数[编辑]

形同的函数项无穷级数称为幂级数。一般只需讨论形同的幂级数。

幂函数的收敛域[编辑]

根据阿贝尔定理,它的收敛域是一个关于零对称的区间,即为(可开可闭)的形式。这个正数 R (可以是无穷大)叫做幂级数的收敛半径。并有定理:

设幂级数满足,则:

  • 是正实数时,
  • 时,
  • 时,

幂级数的和函数[编辑]

求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分(或求导)以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式,在求和后在对各项求导(或积分)。

渐进级数[编辑]

渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的,它的部分和趋于无穷大,因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是,渐进级数提供的逼近是相对的,即只是比值趋于一致,与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说,渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差,之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。

发散级数的和[编辑]

发散级数的部分和没有极限,但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义,比如切萨罗求和阿贝尔求和以及欧拉求和

推广[编辑]

级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义,常用的是在一个巴拿赫空间(比如实数或复数空间)中。

注释[编辑]

参考文献[编辑]

参考书目[编辑]

  • 同济大学数学系. 《高等数学》(第六版). 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-021277-8. 
  • 北京大学数学科学学院. 《数学分析》(第二册). 北京大学出版社. 

参见[编辑]