级数

  此条目介绍的是一个序列的总和。关于用序列表述的一串数字，请见“数列”。

级数（英语：Series）是数学中一个有穷或无穷的序列例如$u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\ldots$之和，即$s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots$，如果序列是有穷序列，其和称为有穷级数；反之，称为无穷级数（一般也简称为级数）。

序列$u_{0},u_{1},u_{2},\ldots$中的项称作级数的通项（或一般项）。级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。一般的，如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。

有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数在收敛时才会有一个和；发散的无穷级数在一般意义上没有和，但可以用一些别的方式来定义。

无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。无穷级数一般写作$\textstyle u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots$，使用求和符号时记作$\textstyle \sum u_{n}$或者$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$，级数收敛时，其和通常被表示为$s=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$。

无穷级数的定义

设$(u_{n})$是一个无穷序列 ：$u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},\ldots$，其前n项的和称为$\sum u_{n}$的部分和：

$s_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}$

$(u_{n})$部分和依次构成另一个无穷序列：$s_{1},s_{2},s_{3},\ldots ,s_{n},\ldots$

这两个序列合称为一个级数，记作$\sum u_{n}$或者$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$。

无穷级数的敛散性

对于级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$，如果当$n$趋于正无穷大时，$s_{n}$趋向一个有限的极限：$s=\lim _{n\to \infty }s_{n}$，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，$s$叫做级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$的和。如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和$s$。这时可以定义级数$\sum u_{n}$的余项和：$R_{n}=S-S_{n}$。

任意项级数

如果级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$中的各项可以是正数，负数或零，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$称为任意项级数。 将任意项级数各项$u_{n}$取绝对值，得到正项级数。 $\sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|=|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+\cdots +|u_{n}|+\cdots$

条件收敛

如果任意项级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$收敛，而级数$\sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|$发散，则称级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$条件收敛。

绝对收敛

如果级数$\sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|$收敛，则称级数绝对收敛

定理：如果任意项级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$的各项的绝对值所组成的正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|$收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$收敛。

证明：

令 $a_{n}={\frac {1}{2}}(|u_{n}|+u_{n}),b_{n}={\frac {1}{2}}(|u_{n}|-u_{n})$ 于是，有 $0\leq a_{n}\leq |u_{n}|,0\leq b_{n}\leq |u_{n}|$ 因为$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$,$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$均为正项级数，且$\sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|$收敛，由比较审敛法知，级数$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$和$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$收敛。 又因为$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-b_{n})$,所以由级数的定义可得，级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$收敛。 该定理表明，如果级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$绝对收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$必收敛。

收敛级数的性质

• 若一个无穷级数$\sum u_{n}\ :\ u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots$收敛，其和为$s$，则如果每一项乘以一个常数$a$，得到的级数$\sum au_{n}:\ au_{1}+au_{2}+au_{3}+\cdots +au_{n}+\cdots$也收敛，且和等于as。

• 收敛的无穷级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：

$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=s$和 $\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}=t$，则

$\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n}\pm v_{n})=s\pm t$.

• 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性，如：

$s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots$和 $s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+\cdots +u_{n}+\cdots$

这两个级数的敛散性是一样的。

• 当$n$趋向无限大时，任何一个收敛级数的通项都趋于0：$\lim _{n\to \infty }u_{n}=0$

• 在一个完备空间中，也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛：一个无穷级数$\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n}$收敛的充要条件是，对任意$\epsilon >0$ ，总存在$N_{0}>0$，使得任意的$n>m>N_{0}$，$|s_{n}-s_{m}|=|\sum _{k=m+1}^{n}u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots +u_{n}|<\epsilon$。

无穷级数的研究历史

将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。

17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。

对审敛法的研究

14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。

然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数

$1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots$

的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。

柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。

1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数

$1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots$

的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。

柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效） ，以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。

对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。

对一致连续性的研究

1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间里没有受到重视。

类别

更多级数请参见级数列表。

几何级数

主条目：几何级数

几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：

$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2$

一般来说，几何级数$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$收敛当且仅当$\left\vert z\right\vert <1$。

调和级数

主条目：调和级数

调和级数是指通项为${1 \over n}$的级数：

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}$

它是发散的。

$p$-级数

$p$-级数是指通项为${\frac {1}{n^{p}}}$的级数：

$U_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$

对于实数值的$p$，当$p>1$时收敛，当$p\leq 1$时发散。这可以由积分比较审敛法得出。

函数$\zeta :p\mapsto U_{p}$是黎曼ζ函数在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼$\zeta$函数有著名的黎曼猜想。 特别地，当$p=1$时，$p$-级数即为调和级数。

裂项级数

$\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$

收敛当且仅当数列$b_{n}$收敛到某个极限$L$，并且这时级数的和是$b_{1}-L$。

泰勒级数

主条目：泰勒级数

泰勒级数是关于一个光滑函数$f$在一点$a$附近取值的级数。泰勒函数由函数在点$a$的各阶导数值构成，具体形式为：

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

这是一个幂级数。如果它在$a$附近收敛，那么就称函数$f$在点$a$上是解析的。

交错级数

具有以下形式的级数

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$

其中所有的$a_{n}$非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。

幂级数

主条目：幂级数

形同$\sum a_{n}(x-x_{0})^{n}$的函数项无穷级数称为$x-x_{0}$的幂级数。它的收敛与否和系数$a_{n}$有关。

傅里叶级数

主条目：傅里叶级数

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

例如，周期为$2\pi$的周期函数$f(x)$可以表示为：

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),n=1,2,3,\ldots$

其中，$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$，$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$，特别的，$a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx$

常数项无穷级数审敛法

主条目：审敛法

正项级数

若通项为实数的无穷级数$\sum u_{n}$每一项$u_{n}$都大于等于零，则称$\sum u_{n}$是一正项级数。

如果无穷级数 $\sum u_{n}$ 是正项级数，则部分和$S_{n}$是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，倘若部分和数列S_n有界，$\sum u_{n}$收敛，且$\lim _{n\to \infty }S_{n}=s$ ;反之，若部分和数列趋于正无穷，级数发散。

比较判别法

设$\sum u_{n}$ 和 $\sum v_{n}$是正项级数。

如果存在正实数$M$，使得从若干项开始，$u_{n}\leq Mv_{n}$（也就是说$u_{n}=O_{\infty }(v_{n})$），则

• 当$\sum v_{n}$ 收敛时，可推出 $\sum u_{n}$ 也收敛。
• 当$\sum u_{n}$ 发散时，可推出 $\sum v_{n}$ 也发散。

如果$\lim _{n\to \infty }{u_{n} \over v_{n}}=0$，则

• 当$\sum v_{n}$ 收敛时，可推出 $\sum u_{n}$ 也收敛。
• 当$\sum u_{n}$ 发散时，可推出 $\sum v_{n}$ 也发散。

如果$\lim _{n\to \infty }{u_{n} \over v_{n}}=1$或其它有限数，则$\sum v_{n}$ 和$\sum u_{n}$ 同时收敛或发散。

比如，我们已知级数：$\sum {1 \over n^{2}}$收敛，则级数：$\sum {|\sin n| \over n^{2}}$也收敛，因为对任意的$n$，$\sin n\leq 1$。

比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数：$U_{p}=\sum {1 \over n^{p}}$作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当$p\leq 1$时，$U_{p}$发散，当$p>1$时，$U_{p}$收敛。

达朗贝尔判别法

主条目：达朗贝尔审敛法

在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：

设$\sum u_{n}$是通项大于零的正项级数。并且$\lim _{n\to \infty }{u_{n+1} \over u_{n}}=p$，则

• 当$p<1$ 时，级数$\sum u_{n}$收敛。
• 当$p>1$ 时，级数$\sum u_{n}$发散。
• 当$p=1$ 时，级数$\sum u_{n}$可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。

柯西收敛准则

主条目：根值审敛法

设 $\sum u_{n}$ 是正项级数。并且$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}=p$，则

• 当$p<1$时，级数 $\sum u_{n}$ 收敛。
• 当$p>1$时，级数 $\sum u_{n}$ 发散。
• 当$p=1$时，级数 $\sum u_{n}$ 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。

交错级数

主条目：交错级数判别法

具有以下形式的级数

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$

其中所有的$a_{n}$非负，被称作交错级数。

莱布尼茨判别法

主条目：莱布尼茨审敛法

在上述的级数$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$中，如果当$n$趋于无穷时, 数列$a_{n}$的极限存在且等于 0，并且每个$a_{n}$小于$a_{n-1}$（即, 数列$a_{n}$是单调递减的），那么级数收敛。

任意项级数

对于通项为任意实数的无穷级数$\sum u_{n}$，将级数$\sum |u_{n}|$称为它的绝对值级数。可以证明，如果$\sum |u_{n}|$收敛，那么 $\sum u_{n}$也收敛，这时称 $\sum u_{n}$绝对收敛。如果$\sum u_{n}$收敛，但是$\sum |u_{n}|$发散，则称$\sum u_{n}$条件收敛。比如说，级数$\sum {\sin n \over n^{2}}$绝对收敛，因为前面已经证明 $\sum {|\sin n| \over n^{2}}$收敛。而级数$\sum {(-1)^{n} \over n}$是条件收敛的。它自身收敛到$\ln {1 \over 2}$，但是它的绝对值级数$\sum {1 \over n}$是发散的。

黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数$\sum u_{n}$条件收敛，那么对于任意的实数$x$，存在一个正整数到正整数的双射$\sigma$，使得级数$\sum u_{\sigma (n)}$收敛到 $x$。对于正负无穷大，上述双射也存在。

函数项级数

设$(u_{n}(x))_{n\geq 0}$为定义在区间${\mathcal {I}}$上的函数列，则表达式：$u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots +u_{n}(x)+\cdots$称为函数项级数，简记为$\sum u_{n}(x)$。对函数项级数的主要研究是：

1. 确定对哪些$x$，$\sum u_{n}(x)$收敛。
2. $\sum u_{n}(x)$收敛的话，其和是什么，有什么性质？

收敛域

对区间${\mathcal {I}}$上的每个 $x_{0}$，级数 $\sum u_{n}(x_{0})$是常数项级数。若 $\sum u_{n}(x_{0})$收敛，则称$x_{0}$是$\sum u_{n}(x)$的一个收敛点，$\sum u_{n}(x)$全体收敛点的集合称为它的收敛域。若 $\sum u_{n}(x_{0})$发散，则称$x_{0}$是$\sum u_{n}(x)$的一个发散点，$\sum u_{n}(x)$全体发散点的集合称为它的发散域。$\sum u_{n}(x)$在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为$\sum u_{n}(x)$的和函数，记为$S(x)$。按照定义，$S(x_{0})=\lim _{n\to \infty }S_{n}(x_{0})$，其中$S_{n}(x_{0})=u_{1}(x_{0})+u_{2}(x_{0})+\cdots +u_{n}(x_{0})$为函数项级数在$x_{0}$点上的部分和。

一致收敛

主条目：一致收敛

函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数$\sum u_{n}(x)$中的每一项$u_{n}(x)$在收敛域上都是连续函数时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子：

设$\displaystyle u_{n}(x)=x^{n}-x^{n+1}$，也就是说$\displaystyle u_{0}(x)=1-x$，$\displaystyle u_{1}(x)=x-x^{2}$等等，它们显然都是连续函数（甚至是光滑函数）。这时函数项级数在$x$ 点上的部分和$S_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}$。在区间$[0,1]$的每一点上，部分和都有极限：

当$x\neq 1$时，$S_{n}(x)\rightarrow 1$

当$\displaystyle x=1$时，$S_{n}(x)\rightarrow 0$

于是在区间$[0,1]$上，级数$\sum u_{n}(x)$ 收敛，其和函数$S(x)$为：

当$0\leq x<1$时，$S(x)=1$；$S(1)=0$。

这不是一个连续函数。

然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样，函数项级数$\sum u_{n}(x)$在某个区间${\mathcal {I}}$内（关于某个范数$\left\|\cdot \right\|$）一致收敛的定义是它的部分和函数$S_{n}$ 在区间${\mathcal {I}}$上一致收敛到和函数$S$，

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|S-S_{n}\right\|_{\mathcal {I}}=0$

或者写成$\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|\sum _{k=n}^{\infty }u_{k}\right\|_{\mathcal {I}}=0$

可以证明：

如果级数$\sum u_{n}(x)$ 在区间${\mathcal {I}}$ 内一致收敛，并且每个$u_{n}(x)$ 都是连续函数，那么和函数$S$ 在区间${\mathcal {I}}$ 上也是连续函数。

进一步的，如果导函数级数的每一项都是${\mathcal {C}}^{p}$函数（$p$阶连续可微函数），并且各阶导函数级数$\sum u_{n}(x),\sum u_{n}^{(1)}(x),\sum u_{n}^{(2)}(x),\ldots ,\sum u_{n}^{(p)}(x)$在区间${\mathcal {I}}$内都一致收敛，那么级数和函数$S(x)=\sum u_{n}(x)$ 也是${\mathcal {C}}^{p}$函数，并且：

$\forall 0\leq i\leq p$ ，$S^{(i)}(x)=\sum u_{n}^{(i)}(x)$。

绝对收敛

函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间${\mathcal {I}}$和范数$\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {I}}$，函数项级数$\sum u_{n}(x)$在区间${\mathcal {I}}$内绝对收敛，当且仅当常数级数$\sum \left\|u_{n}\right\|_{\mathcal {I}}$收敛。

绝对收敛的（连续？）函数在每一点都收敛，并且在区间${\mathcal {I}}$内一致收敛。

幂级数

主条目：幂级数

形同$\sum a_{n}(x-x_{0})^{n}$的函数项无穷级数称为$x-x_{0}$的幂级数。一般只需讨论形同$\sum a_{n}x^{n}$的幂级数。

幂函数的收敛域

根据阿贝尔定理，它的收敛域是一个关于零对称的区间，即为$(-R,R)$（可开可闭）的形式。这个正数$R$（可以是无穷大）叫做幂级数的收敛半径。并有定理：

设幂级数$\sum a_{n}x^{n}$满足$\lim _{n\to \infty }{a_{n+1} \over a_{n}}=\rho$，则：

• $\rho$是正实数时，$R={1 \over \rho }$。
• $\rho =0$时，$R=\infty$。
• $\rho =\infty$时，$R=0$。

幂级数的和函数

求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。

渐进级数

渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的逼近是相对的，即只是比值趋于一致，与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说，渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。

发散级数的和

主条目：发散级数

发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如切萨罗求和、阿贝尔求和以及欧拉求和。

推广

级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义，常用的是在一个巴拿赫空间（比如实数或复数空间）中。

参见

• 收敛
• 发散级数
• 函数级数
• 级数展开
• 求和变换
• 阿贝尔定理
• 黎曼级数定理
• 柯西-阿达马公式

参考文献

参考书目

• 同济大学数学系. 高等数学 6. 高等教育出版社. 2007. ISBN 978-7-04-021277-8 （中文（中国大陆））. 
• 北京大学数学科学学院. 数学分析 2. 北京大学出版社 （中文（中国大陆））.