数列

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数列(英语:Sequence)是一组兩個以上按顺序排列的(由數組成的序列),记为

其中,数列中的每一个数称为这个数列的。其中,为数列的第一项首项第二项则为

项的总个数为数列的项数,项数有限的数列为有限数列有穷数列,项数无限的数列为无限数列无穷数列

特别地,数列是一种特殊的函数,它的自变量为自然数集或其子集。数列又称整标函数

单调性[编辑]

  • ,则称数列递增数列
  • ,则称数列递减数列
  • ,则称数列常数列

其他的即为摆动数列

特殊数列[编辑]

  • 等差数列:是一种特殊数列。数列中,从第二项起,每一项与前一项的差相等。
例如数列
这就是一个等差数列,因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等,都等于的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差,符号为,但是可为0。
若設首項,則等差數列的通項公式為
  • 多阶等差数列:又称高阶等差数列,大陆地区则称之为“质数相关数列”。
把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列,如果这个新的数列是普通等差数列,原数列就称为二阶等差数列。
由此类推,把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列,再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列,如此进行下去,直到最后的数列如果是普通等差数列,那么原数列就是多阶等差数列。
普通等差数列可以视为一阶等差数列,因而常数数列实际就是零阶等差数列。
  • 等比数列:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。
例如数列
这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于2,的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比,符号为
若設首項,則等比數列的通項公式為
  • 斐波那契数列:是一种特殊数列。它的特点是:首兩項均是1,从第3项起,每一项均為前兩項的和。
以數學符號表示,即,且對於
斐波那契数列的通项公式為
  • 正负相间:
  • 隔项有零:

数列的求和[编辑]

通常对第1项到第项求和,记为

一般数列的通项求法[编辑]

逐差全加[编辑]

给定数列差时逐差全加,例如:

,求

逐商全乘[编辑]

给定数列比时逐差全乘,例如:

,求

不动点[编辑]

对于形如齐次分式的递推关系,可利用不动点来推导。

已知,其中都是常数,求
求这类数列的通项公式,一般的方法就是将之化成一个新的等比数列

  • 如果,那么这个式子就一定可以化成下面的形式:


求出,那么数列就是一个等比数列,从而求出通项公式。

  • 如果,那么这个递推关系是不可能化成等比数列的。实际上,若,那么它就是等差数列了。还要注意的一种特殊情况就是的时候,这实际上就是一个等和数列,从这个问题我们可以看到,等和数列也可以化成一个等比数列
  • 除此之外也可以这样将之化成等比数列



两边相减就有:,如此就化成了一个等比数列

已知,其中都为常数,求
与上述数列一样,它们一定可以化成下面的形式:

求出对应系数,然后就可以求出数列的通项公式,然后求出的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。

从和式求通项[编辑]

可知

看成一个数列,可以先对进行求解,然后得出

数学归纳法[编辑]

求出该数列的前数项,归纳其通项公式,然后用数学归纳法证明公式正确。

数列的极限[编辑]

極限,即為一個數列,使得,其中為一確定的常數,亦即數列隨著的增加而趨近於

参见[编辑]

一个特殊数列求和:奇数数列。1,3,5,7,9,...。其和为项数的平方。例如:1+3=22,1+3+5=32