數列

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數列是一組按順序排列的,記為

其中,數列中的每一個數稱為這個數列的。其中,為數列的第一項首項第二項則為

項的總個數為數列的項數,項數有限的數列為有限數列有窮數列,項數無限的數列為無限數列無窮數列

  • ,則稱數列遞增數列
  • ,則稱數列遞減數列
  • ,則稱數列常數列

其他的即為擺動數列

特別地,數列是一種特殊的函數,它的自變量為自然數集或其子集。

特殊數列[編輯]

  • 等差數列:是一種特殊數列。數列中,從第二項起,每一項與前一項的差相等。
例如數列
這就是一個等差數列,因為第二項與第一項的差和第三項與第二項的差相等,都等於的差也等於2。我們把像2這樣的後一項與前一項的差稱之為公差,符號為,但是可為0。
若設首項,則等差數列的通項公式為
  • 多階等差數列:又稱高階等差數列,大陸地區則稱之為「質數相關數列」。
把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列,如果這個新的數列是普通等差數列,原數列就稱為二階等差數列。
由此類推,把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列,再把這個新的數列的所有後項與前一項之差組成另一個新的數列,如此進行下去,直到最後的數列如果是普通等差數列,那麼原數列就是多階等差數列。
普通等差數列可以視為一階等差數列,因而常數數列實際就是零階等差數列。
  • 等比數列:是一種特殊數列。它的特點是:從第2項起,每一項與前一項的比都是一個常數。
例如數列
這就是一個等比數列,因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等,都等於2,的比也等於2。我們把像2這樣的後一項與前一項的比稱之為公比,符號為
若設首項,則等比數列的通項公式為
  • 斐波那契數列:是一種特殊數列。它的特點是:首兩項均是1,從第3項起,每一項均為前兩項的和。
以數學符號表示,即,且對於
斐波那契數列的通項公式為
  • 正負相間:
  • 隔項有零:

數列的求和[編輯]

通常對第1項到第項求和,記為

一般數列的通項求法[編輯]

逐差全加[編輯]

給定數列差時逐差全加,例如:

,求

逐商全乘[編輯]

給定數列比時逐差全乘,例如:

,求

不動點[編輯]

對於形如齊次分式的遞推關係,可利用不動點來推導。

已知,其中都是常數,求
求這類數列的通項公式,一般的方法就是將之化成一個新的等比數列

  • 如果,那麼這個式子就一定可以化成下面的形式:


求出,那麼數列就是一個等比數列,從而求出通項公式。

  • 如果,那麼這個遞推關係是不可能化成等比數列的。實際上,若,那麼它就是等差數列了。還要注意的一種特殊情況就是的時候,這實際上就是一個等和數列,從這個問題我們可以看到,等和數列也可以化成一個等比數列
  • 除此之外也可以這樣將之化成等比數列



兩邊相減就有:,如此就化成了一個等比數列

已知,其中都為常數,求
與上述數列一樣,它們一定可以化成下面的形式:

求出對應係數,然後就可以求出數列的通項公式,然後求出的通項公式。實際上這是一種逐步化簡的方法。

從和式求通項[編輯]

可知

看成一個數列,可以先對進行求解,然後得出

數學歸納法[編輯]

求出該數列的前數項,歸納其通項公式,然後用數學歸納法證明公式正確。

數列的極限[編輯]

極限,即為一個數列,使得,其中為一確定的常數,亦即數列隨著的增加而趨近於

參見[編輯]

一個特殊數列求和:奇數數列。1,3,5,7,9,...。其和為項數的平方。例如:1+3=22,1+3+5=32