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數列

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數列(英語:Number sequence)是由數字組成的序列。另一種略為抽象的說法是——以正整數為定義域、值域是一個數系函數級數也是一種數列,不過它的每一項是另外一個數列的部份和。在微積分的教材中經常討論的數列是實數序列和實數級數。一般的「序列」則範圍更廣,可以由有序的一系列數字、一系列函數、一系列向量、一系列矩陣或一系列張量等等所組成。而在計算理論中,數列以及相關術語常用於有關遞推規律的研究。

正式定義

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由於最一般的數為複數,可以作如下的定義:[1]

數列的定義 — 一個 的函數被稱為無窮數列,可記為 ,而 會被簡記為

,則一個 的函數被稱為有限數列,可記為

在教學上常會如下標示有限數列,來增進對定義的直觀理解:

以上表達式中的每一個數被稱為這個數列的「項」。 為數列的「第一項」、 為「第二項」,以此類推。 被稱為有限數列的項數。數列中的第一項常稱為「首項」,最後一項則稱為「末項」。注意有限數列也可以設為 ,換句話說,把 加入數列的定義域,並以第零項 作為首項。無窮數列只有首項,沒有末項,但類似的,也有人把 踢出無窮數列的定義域,讓無窮數列的首項為

由數列中各個項的組成的數列稱為「級數」,換句話說

級數的定義 — 一個數列 級數是另外一個數列 ,具有以下特性:

  • 對所有的

一般會將 寫為 ,甚至更直觀的 來凸顯級數源於求和」的直觀概念。

級數的概念可以推廣至數列以外的序列,比如說函數序列的函數級數英語function series

分類

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單調性

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  • 若對所有 nZ+an+1an ,則稱數列 ak 為「遞增數列」。把 換成 > ,則稱為「嚴格遞增數列」。
  • 若對所有 nZ+an+1an ,則稱數列 ak 為「遞減數列」。把 換成 < ,則稱為「嚴格遞減數列」。
  • 若對所有 nZ+an+1 = an ,則稱數列 ak 為「常數數列」。

有限性

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  • 若數列 的項數有限,則 ak 為「有限數列」。
  • 若數列 的項數無限,則 ak 為「無窮數列」。

有界性

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  • 若對所有 nZ+ManN ,則稱數列 ak 為「有界數列」。 M 稱為「下界」, N 稱為「上界」。
  • 若對數列 ak ,上述的 MN 不存在,則稱數列 ak 為「無界數列」。

收斂性與極限

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收斂性是數列的一個重要性質。如果一個數列逐漸趨近於某一個值,就稱該數列為收斂數列,否則稱為發散數列

簡單的說,一個數列有極限,便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近(稱為極限值),但是它們仍然任意得很靠近極限值,而不一定恰好相等。

舉例來說:當 時,隨著n的數字增加,可以看到它逐漸趨向於0。當 時,隨著n的數字增加,可以看到它逐漸趨向於2。

此外,值得注意的是,當一個數列有極限值時,它的極限值一定是唯一的。一般來說,當數列收斂,我們會記

收斂的嚴格定義

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我們說一個實數數列收斂於實數;如果對任意的 ,存在一個正整數,使得對所有的,有

重要的特殊數列

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  • 等差數列:是一種特殊數列。數列中,從第二項起,每一項與前一項的差相等。
例如數列
這就是一個等差數列,因為第二項與第一項的差和第三項與第二項的差相等,都等於的差也等於2。我們把像2這樣的後一項與前一項的差稱之為公差,符號為,但是可為0。
若設首項,則等差數列的通項公式為
  • 多階等差數列:又稱高階等差數列,中國則稱之為「質數相關數列」。
把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列,如果這個新的數列是普通等差數列,原數列就稱為二階等差數列。
由此類推,把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列,再把這個新的數列的所有後項與前一項之差組成另一個新的數列,如此進行下去,直到最後的數列如果是普通等差數列,那麼原數列就是多階等差數列。
普通等差數列可以視為一階等差數列,因而常數數列實際就是零階等差數列。
  • 等比數列:是一種特殊數列。它的特點是:從第2項起,每一項與前一項的比都是一個常數。
例如數列
這就是一個等比數列,因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等,都等於2,的比也等於2。我們把像2這樣的後一項與前一項的比稱之為公比,符號為
若設首項,則等比數列的通項公式為
  • 費氏數列:是一種特殊數列。它的特點是:首兩項均是1,從第3項起,每一項均為前兩項的和。
以數學符號表示,即,且對於
費氏數列的通項公式為
  • 質數數列:目前找不到規律的特殊數列,即:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…………
  • 正負相間:
  • 隔項有零:

數列的求和

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通常對第1項到第項求和,記為。此求和符號是由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉使用和推廣的。

一個特殊數列求和:奇數數列。1,3,5,7,9,...。其和為項數的平方。例如:1+3=22,1+3+5=32

通項公式的求解

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通常,從實際問題中會先得到一個遞迴關係式,但是可能會難以觀察出數列中某一項的項數和具體大小之間的規律。所以需要求出這個數列的通項公式。以下是一些常見的遞推式化簡方法。通項公式的求解在積分學線性代數機率論組合數學趣味數學數學物理數學建模數值分析碎形等領域中都會遇到。並不存在一種通用的解法。求不出通項公式或只能進行估算的情形也可能出現。

數學歸納法

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求出該數列的前數項,歸納其通項公式,然後用數學歸納法證明公式正確。

數學歸納法是最基本的方法,但對觀察和歸納的能力要求比較高。如果猜不出規律,則不能使用此方法。

逐差全加

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給定數列差時逐差全加,例如:

, 求

逐商全乘

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給定數列比時逐差全乘,例如:

,求

從和式求通項

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如果已知數列和的公式,那麼通項的求解非常容易。由可知

看成一個數列,可以先對進行求解,然後得出

換元法

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換元法用於從形式上簡化表達式,以突出問題的本質。換元法一般不單獨使用,而是和其它方法結合使用。中學數學中常用的有對數換元法、三角函數換元法,還有用得很少的雙曲函數換元法。

不動點法

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對於形如齊次分式的遞迴關係,可利用不動點來推導。

已知,其中都是常數,求
求這類數列的通項公式,一般的方法就是將之化成一個新的等比數列

  • 如果,那麼這個式子就可以化成下面的形式:


求出,那麼數列就是一個等比數列,從而求出通項公式。

  • 如果,這個遞迴關係就不能化為等比數列。如果,那麼它就是等差數列。另外,當的時候,它是一個等和數列。從這個問題我們可以看到,等和數列也可以化成一個等比數列。
  • 除此之外也可以這樣將之化成等比數列:



兩邊相減就有:,如此就化成了一個等比數列。

已知,其中都為常數,求
與上述數列一樣,它們一定可以化成下面的形式:

求出對應係數,於是就轉化成了前面那種形式,然後就可以求出數列的通項公式,然後求出的通項公式。實際上這是一種逐步化簡的方法。

其它方法

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其它常用方法包括導數求通項法、組合數學中的母函數方法、特徵方程式法,這些一般是在大學課程或是部分高中的進階課程中學到。其中特徵方程式法專門用於線性遞迴關係式的化簡,與求解線性微分方程式的特徵方程式法非常類似。

在其他數學領域的使用

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拓樸

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分析

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線性代數

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抽象代數

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參見

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參考資料

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  1. ^ 譚傑鋒; 鄭愛武. 高等数学. 清華大學出版社; 北京交通大學出版社. 2007. ISBN 978-7-8108-2647-1 (中文(中國大陸)).