等比数列

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等比数列,又名几何数列。是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列

这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于2,的比也等于2。如2这样后一项与前一项的比称公比,符号为

公式[编辑]

等比公式[编辑]

根据等比数列的定义可得:

通项公式[编辑]

可以任意定义一个等比数列

这个等比数列从第一项起分别是,公比为,则有:

以此类推可得,等比数列的通项公式为:

求和公式[编辑]

对上所定义的等比数列,即数列。将所有项累加。

于是把称为等比数列的和。记为

如果该等比数列的公比为,则有:

(利用等比数列通项公式) ...... (1)
先将两边同乘以公比q,有:
...... (2)
(1)式减去(2)式,有:
...... (3)
然后进行一定的讨论
时,
而当时,由(3)式无法解得通项公式。
但可以发现,此时:
  • 综上所述,等比数列的求和公式为:
  • 经过推导,可以得到另一个求和公式:当q≠1时

當-1<q<1時,等比數列無限項之和[编辑]

由於當的值不斷增加時,的值便會不斷減少而且趨於0,因此無限項之和:

性质[编辑]

如果数列是等比数列,那么有以下几个性质:

证明:当时,
  • 对于,若,则
证明
  • 等比中项:在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项,其中,则有
  • 在原等比数列中,每隔取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列。
  • 也成等比数列。

参见[编辑]