等比數列

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等比數列,又稱幾何數列。是一種特殊數列。它的特點是:從第項起,每一項與前一項的比都是一個常數。

例如數列

這就是一個等比數列,因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等,都等於的比也等於。如這樣後一項與前一項的比稱公比,符號為

公式[編輯]

等比公式[編輯]

根據等比數列的定義可得:

通項公式[編輯]

可以任意定義一個等比數列

這個等比數列從第一項起分別是,公比為,則有:

以此可推得,等比數列的通項公式為:

求和公式[編輯]

對上所定義的等比數列的所有項累加。

稱為等比數列的和或等比級數,記為

如果該等比數列的公比為,則有:

(利用等比數列通項公式)……(1)

先將兩邊同乘以公比q,有:

……(2)

(1)式減去(2)式,有:

……(3)

然後進行討論:當時,;而當時,由(3)式無法解得通項公式。

但可以發現,此時:

綜上所述,等比數列的求和公式為:

經過推導,可以得到另一個求和公式:當時,

時,等比數列無限項之和[編輯]

由於當的值不斷增加時,的值便會不斷減少而且趨於,因此無限項之和為:

性質[編輯]

如果數列是等比數列,那麼有以下幾個性質:

證明:當時,
  • 對於,若,則
證明:
  • 等比中項:在等比數列中,從第二項起,每一項都是與它等距離的前後兩項的等比中項。即等比數列中有三項,其中,則有
  • 在原等比數列中,每隔取出一項,按原來順序排列,所得的新數列仍為等比數列。
  • 成等比數列,則也成等比數列。

參見[編輯]