三角形數

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索
三角形數

一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形,这样的数被称为三角形數。比如10个点可以组成一个等边三角形,因此10是一个三角形數:

一开始的18个三角形數是13610152128364555667891、105、120、136、153、171、190、210、231、253……

一个三角数乘以九再加一仍是一个三角数。

三角數的個位數字不可能是2、4、7、9,數字根不可能是2、4、5、7、8。

三角数的二倍的平方根取整,是这个三角数的序数。

性質[编辑]

  • 第n个三角形數的公式是
  • 第n个三角形數是從1开始的n个自然数的和
  • 所有大于3的三角形數都不是质数
  • 十二進制中,三角形數只能以0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, X結尾,因為三角形數除以3不可能餘2。
  • 开始的n个立方数的和是第n个三角形數的平方(举例:1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102
  • 所有三角形數的倒数之和是2
  • 任何三角形數乘以8再加1是一个平方数
  • 每個正整數都是最多3個三角形數的和(見費馬多邊形數定理)。
  • 每個大於33的正整數都是相異三角形數的和。
  • 除了216以外,每個不是三角形數的正整數都是一個三角形數跟一個質數的和。
  • 一部分三角形數(3、10、21、36、55、78……)可以用以下这个公式来表示:;而剩下的另一部分(1、6、15、28、45、66……)则可以用来表示。
  • 一种检验正整数x是否三角形数的方法,是计算
    如果n整数,那么x就是第n三角形数。如果n不是整数,那么x不是三角形数。这个检验法是基于恒等式

特殊的三角形數[编辑]

  • 55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
  • 第11个三角形數(66)、第1111个三角形數(617,716)、第111,111个三角形數(6,172,882,716)、第11,111,111个三角形數(61,728,399,382,716)都是回文式的三角形數,但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形數不是(除了1本身之外,只有當1的個數為偶數時,才有可能是)。

它與其他數的關係[编辑]

外部連結[编辑]