三角形數
外观
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一定数目的点或圆在等距離的排列下可以形成一个等邊三角形,這樣的數被稱為三角形數。比如10個點可以組成一个等邊三角形,因此10是一個三角形數:
頭30個三角形數是1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, ...(OEIS數列A000217)。
三角数的二倍的平方根取整,是这个三角数的序数。
性質
[编辑]- 第n个三角形數的公式是。
- 第n个三角形數是從1开始的n个自然数的和。
- 所有大于3的三角形數都不是质数。
- 除了0,1,3,21,55以外,三角形數不可能是費波那契數。[來源請求]
- 开始的n个立方数的和是第n个三角形數的平方(举例:1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102)
- 所有三角形數的倒数之和是2。
- 任何三角形數乘以8再加1是一个平方数。
- 三角數的個位數字不可能是2、4、7、9,數字根不可能是2、4、5、7、8。
- 一部分三角形數(3、10、21、36、55、78……)可以用以下这个公式来表示:;而剩下的另一部分(1、6、15、28、45、66……)则可以用来表示。
- 一种检验正整数x是否三角形数的方法,是计算:
特殊的三角形數
[编辑]- 55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
- 第11个三角形數(66)、第1111个三角形數(617,716)、第111,111个三角形數(6,172,882,716)、第11,111,111个三角形數(61,728,399,382,716)都是回文式的三角形數,但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形數不是。
- 同時為三角形數及普洛尼克數的數(不定方程):最小的幾個為0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……[1][2],對應的值分別為0, 2, 14, 84, 492, 2870,……(OEIS數列A053141),對應的值分別為0, 3, 20, 119, 696, 4059,……(OEIS數列A001652)。
它與其他數的關係
[编辑]- 是否在相继出现的三角形数之间至少存在一个素数,在9000000以下的数目是正确的。
- 四面體數是三角形數在立體的推廣。
- 两个相继的三角形數之和是平方数。
- 三角平方數是同時為三角形數和平方數的數。
- 三角形數屬於一種多邊形數。
- 所有偶完美数都是三角形数。
- 任何自然数是最多三个三角形數的和。高斯发现了这个规律,他在1796年7月10日在日记中写道:EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ
外部連結
[编辑]- Hazewinkel, Michiel (编), Arithmetic series, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Triangular numbers(页面存档备份,存于互联网档案馆) at cut-the-knot
- There exist triangular numbers that are also square(页面存档备份,存于互联网档案馆) at cut-the-knot
- 埃里克·韦斯坦因. Triangular Number. MathWorld.
- Triangular numbers via 12 days of Christmas by Vi Hart
- Hypertetrahedral Polytopic Roots by Rob Hubbard, including the generalisation to triangular cube roots, some higher dimensions, and some approximate formulae
參考資料
[编辑]- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ pronic numbers. NUMBERS APLENTY. [2021-02-05]. (原始内容存档于2021-02-25).
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