五邊形數定理

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五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理,描述歐拉函數展開式的特性[1] [2]。歐拉函數的展開式如下:

亦即

歐拉函數展開後,有些次方項被消去,只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次,留下來的次方恰為廣義五邊形數

若將上式視為幂級數,其收斂半徑為1,不過若只是當作形式冪級數來考慮,就不會考慮其收斂半徑。

和分割函數的關係[编辑]

歐拉函數的倒數是分割函數母函數,亦即:

其中為k的分割函數。

上式配合五邊形數定理,可以得到

考慮項的係數,在 n>0 時,等式右側的係數均為0,比較等式二側的係數,可得

因此可得到分割函數p(n)的递归

以n=10為例

參考資料[编辑]

  1. ^ 原文為Euler, Leonhard. Evolutio producti infiniti etc. in seriem simplicem. Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. 1775, 1780: 47–55.  参数|title=值左起第28位存在delete character (帮助)
  2. ^ 英文翻譯版為Bell, J在2004-12-4翻譯的《The Expansion of the Infinite Product etc. into a Single Series》,http://www.arxiv.org/abs/math.HO/0411454/.


外部連結[编辑]