五邊形數定理

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五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理,描述歐拉函數展開式的特性[1] [2]。歐拉函數的展開式如下:

\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^{k(3k\pm 1)/2}.

亦即

(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots.

歐拉函數展開後,有些次方項被消去,只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次,留下來的次方恰為廣義五邊形數

若將上式視為幂級數,其收斂半徑為1,不過若只是當作形式冪級數formal power series)來考慮,就不會考慮其收斂半徑。

和分割函數的關係[编辑]

歐拉函數的倒數是分割函數母函數,亦即:

\frac{1}{\phi(x)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) x^k

其中p(k)為k的分割函數。

上式配合五邊形數定理,可以得到

(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)(1 + p(1)x + p(2)x^2 + p(3)x^3 + \cdots)=1

考慮x^n項的係數,在 n>0 時,等式右側的係數均為0,比較等式二側的係數,可得

p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) + \cdots=0

因此可得到分割函數p(n)的递归

p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + \cdots

以n=10為例

p(10) = p(9) + p(8) - p(5) - p(3) = 30 + 22 - 7 -  3 = 42

參考資料[编辑]

  1. ^ 原文為Euler, Leonhard. Evolutio producti infiniti (1-x)(1-xx)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5) etc. in seriem simplicem. Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. 1775, 1780: 47–55. 
  2. ^ 英文翻譯版為Bell, J在2004-12-4翻譯的《The Expansion of the Infinite Product (1-x)(1-xx)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)(1-x^6) etc. into a Single Series》,http://www.arxiv.org/abs/math.HO/0411454/.


外部連結[编辑]