三角形數

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三角形數

一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數被稱為三角形數。比如10個點可以組成一個等邊三角形，因此10是一個三角形數：

頭30個三角形數是1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, ...（OEIS數列A000217）。

三角數的二倍的平方根取整，是這個三角數的序數。

性質

• 第n個三角形數的公式是${\frac {n(n+1)}{2}}$。
• 第n個三角形數是從1開始的n個自然數的和。
• 所有大於3的三角形數都不是質數。
• 除了0，1，3，21，55以外，三角形數不可能是費波那契數。
• 開始的n個立方數的和是第n個三角形數的平方（舉例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10²）
• 所有三角形數的倒數之和是2。
• 任何三角形數乘以8再加1是一個平方數。
• 三角數的個位數字不可能是2、4、7、9，數字根不可能是2、4、5、7、8。
• 一部分三角形數（3、10、21、36、55、78……）可以用以下這個公式來表示：$n*(2n+1)$；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）則可以用$n*(2n-1)$來表示。
• 一種檢驗正整數x是否三角形數的方法，是計算：

  $n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}.$

  如果n是整數，那麼x就是第n個三角形數。如果n不是整數，那麼x不是三角形數。這個檢驗法是基於恆等式$8T_{n}+1=S_{2n+1}.$

特殊的三角形數

• 55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
• 第11個三角形數（66）、第1111個三角形數（617,716）、第111,111個三角形數（6,172,882,716）、第11,111,111個三角形數（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形數，但第111個、第11,111個和第1,111,111個三角形數不是。
• 同時為三角形數及普洛尼克數的數（不定方程$x(x+1)={\frac {y(y+1)}{2}}$）：最小的幾個為0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……，對應的$x$值分別為0, 2, 14, 84, 492, 2870,……（OEIS數列A053141），對應的$y$值分別為0, 3, 20, 119, 696, 4059,……（OEIS數列A001652）。

它與其他數的關係

• 是否在相繼出現的三角形數之間至少存在一個素數，在9000000以下的數目是正確的。
• 四面體數是三角形數在立體的推廣。
• 兩個相繼的三角形數之和是平方數。
• 三角平方數是同時為三角形數和平方數的數。
• 三角形數屬於一種多邊形數。
• 所有偶完美數都是三角形數。
• 任何自然數是最多三個三角形數的和。高斯發現了這個規律，他在1796年7月10日在日記中寫道：EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Arithmetic series, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Triangular numbers（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot
• There exist triangular numbers that are also square（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot
• 埃里克·韋斯坦因. Triangular Number. MathWorld. 
• Triangular numbers via 12 days of Christmas by Vi Hart
• Hypertetrahedral Polytopic Roots by Rob Hubbard, including the generalisation to triangular cube roots, some higher dimensions, and some approximate formulae