三角形數

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三角形數

一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形,這樣的數被稱為三角形數。比如10個點可以組成一個等邊三角形,因此10是一個三角形數:

頭30個三角形數是1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, ...(OEIS中的數列A000217)。

三角數的二倍的平方根取整,是這個三角數的序數。

性質[編輯]

  • 第n個三角形數的公式是
  • 第n個三角形數是從1開始的n個自然數的和
  • 所有大於3的三角形數都不是質數
  • 除了0,1,32155以外,三角形數不可能是費波那契數[來源請求]
  • 開始的n個立方數的和是第n個三角形數的平方(舉例:1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102
  • 所有三角形數的倒數之和是2
  • 任何三角形數乘以8再加1是一個平方數
  • 三角數的個位數字不可能是2、4、7、9,數字根不可能是2、4、5、7、8。
  • 一部分三角形數(3、10、21、36、55、78……)可以用以下這個公式來表示:;而剩下的另一部分(1、6、15、28、45、66……)則可以用來表示。
  • 一種檢驗正整數x是否三角形數的方法,是計算
    如果n整數,那麼x就是第n三角形數。如果n不是整數,那麼x不是三角形數。這個檢驗法是基於恆等式

特殊的三角形數[編輯]

  • 55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
  • 第11個三角形數(66)、第1111個三角形數(617,716)、第111,111個三角形數(6,172,882,716)、第11,111,111個三角形數(61,728,399,382,716)都是回文式的三角形數,但第111個、第11,111個和第1,111,111個三角形數不是。
  • 同時為三角形數及普洛尼克數的數(不定方程):最小的幾個為0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……[1][2],對應的值分別為0, 2, 14, 84, 492, 2870,……(OEIS中的數列A053141),對應的值分別為0, 3, 20, 119, 696, 4059,……(OEIS中的數列A001652)。

它與其他數的關係[編輯]

外部連結[編輯]

參考資料[編輯]